资源简介

*3.3 垂径定理
教学内容 *3.3 垂径定理 课时 1
核心素养目标 1.掌握垂径定理，理解其探索和证明过程; 2.能初步运用垂径定理解决有关的计算和证明问题。 3.在研究过程中，进一步体验“实验一归纳一猜想一证明”的方法；在解题过程中，注重发散思维的培养，同一个问题会从不同的角度去分析解决.
知识目标 1．理解垂径定理和推论的内容，并会证明，利用垂径定理解决与圆有关的问题；(重点) 2．利用垂径定理及其推论解决实际问题．(难点)
教学重点 垂径定理及其推论.
教学难点 运用垂径定理及其推论解决有关问题.
教学准备 课件
教学过程 主要师生活动 设计意图
一、情境导入 二、探究新知 当堂练习，巩固所学 创设情境，导入新知 问题：赵州桥是我国隋代建造的石拱桥，距今约有 1400 年的历史，是我国古代人民勤劳与智慧的结晶.它的主桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦的长）为 37 m，拱高（弧的中点到弦的距离）为 7.23 m，求赵州桥主桥拱的半径（结果保留小数点后一位）. 同学们先讨论，然后带着疑问点开启今天课堂内容. 小组合作，探究概念和性质 探究一 如图，AB 是⊙O 的一条弦，作直径 CD，使CD⊥AB，垂足为 M. (1) 右图是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是什么？ (2) 你能发现图中有哪些等量关系？说一说你的理由. 师生活动： 学生前后四人一组，分工合作，互相帮助，动手画圆、剪圆，按照轴对称图形的探究方法探究，寻找活动过程中产生的直径、弦、弧的关系并总结．给学生留出充分的时间在小组内讨论、交流，教师要深入到小组中指导． 生：这个图形是轴对称图形，对称轴是直径CD所在的直线． 师：那能说出你的理由吗？ 预设： 连接 OA，OB，则OA = OB. 在Rt△OAM 和Rt△OBM 中， ∵OA = OB，OM = OM， ∴Rt△OAM≌Rt△OBM. ∴AM = BM. ∴点 A 和点 B 关于 CD 对称. 师生共同总结： 圆的对称性： 圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线，圆的对称轴有无穷多条. 师：从上面的探究中，你能得出图中有哪些等量关系？说一说你的理由． 生：我们采用折叠的方法，方法如下：将这个图形沿着直径CD所在直线折叠，发现AM与BM重合，∠CMA与∠CMB重合，∠DMA与∠DMB重合，与重合；与重合，所以等量关系有AM＝BM，∠CMA＝∠CMB＝90°，∠DMA＝∠DMB＝90°，＝，＝． 师：上面我们是利用折叠的方法得出了等量关系，你能不能证明它们之间的等量关系呢？ 师生活动： 教师给学生留出足够的思考时间，可以利用轴对称的性质，通过三角形全等进行证明，学生独立解答，代表板演展示，最后教师课件出示解题过程，规范学生的解题步骤． 定义总结 垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧. 推导格式： 教师强调：结论中的“弧”指平分弦所对的劣弧、优弧． 典例精析 例1 如图，OE⊥AB 于 E，若⊙O 的半径为 10 cm，OE = 6 cm，则 AB = cm. 想一想：下列图形是否具备垂径定理的条件？如果不是，请说明为什么？ （1） （2） （3） （4） 答案：（1）是（2）不是，因为没有垂直. （3）是 （4）不是，因为 AB，CD 都不是直径. 师生活动：教学时，给几分钟时间先让学生尝试着解决问题，在学生出现思维盲区时，教师给予详细分析，边讲边演示，在思维的激烈碰撞过程中，逐渐形成对垂径定理的认识. 思考探索 垂径定理 问题：上述五个条件中的任何两个条件都可以推出其他三个结论吗？ 探究二 如图，AB 是⊙O 的弦（不是直径），作一条平分 AB 的直径 CD，交 AB 于点 M ． (1) 这个图形是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？ (2) 你能发现图中有哪些等量关系？说一说你的理由. 师生活动：让学生模仿垂径定理的证明过程，学生先独立思考，然后让学生分组讨论交流，并表述定理的内容——平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧． 教师展示解题过程 归纳总结 垂径定理的逆定理： 平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧. 师：“不是直径”这个条件能去掉吗？如果不能，请举出反例. 特别说明：圆的两条直径是互相平分的. 拓展： 回顾导入 赵州桥中，弦长 a，弦心距 d，弓形高 h，半径 r 之间有以下关系： 例2 如图，一条公路的转弯处是一段圆弧(即图中弧 CD，点 O 是弧 CD 的圆心)，其中 CD=600 m，E 为弧 CD 上的一点，且 OE⊥CD，垂足为 F，EF = 90 m.求这段弯路的半径. 师生活动： 学生自主思考总结，然后小组讨论，代表回答问题. 预设： 当堂练习，巩固所学 已知⊙O 中，弦 AB = 8 cm，圆心到 AB 的距离为 3 cm，则此圆的半径为 cm. 2.（分类讨论题）已知⊙O 的半径为 10 cm，弦 MN ∥EF，且 MN = 12 cm，EF = 16 cm，则弦 MN 和 EF 之间的距离为 cm. 3.(朝阳区期末) 圆管涵是公路路基排水中常用的涵洞结构类型，它不仅力学性能好，且构造简单、施工方便.某水平放置的圆管涵圆柱形排水管道的截面是直径为 1 m 的圆，如图所示，若水面宽 AB = 0.8 m，求水的最大深度. 设计意图：创设现实问题情境，引导学生发现数学问题，不仅能很好地吸引学生注意力，还能让学生切身体会到生活中处处都时数学，感受数学美，了解知识的产生. 设计意图：旨在通过这样的复合图形的轴对称性，探索垂径定理.有的学生可能会用折叠的办法得出猜想，还有的学生可能会尝试用证明的方法得出结论.教学时应鼓励学生探索方式的多样性，在此基础上通过交流使所有的学生都能有所收获. 设计意图：让学生在探究的过程中得出垂径定理,并能快速、准确地将该定理的语言进行转化.应鼓励学生用多种方法进行探讨，体会研究图形的多种方法． 设计意图：与前面的过程类似，探索垂径定理的一个逆定理，教学时，应首先鼓励学生独立探索，然后通过学生间的交流得出结论，并在这一过程中再次体会研究图形的多种方法，仿照前而证明垂径定 理的方法，有些学生可能 会证明垂径定理的这一逆 定理，教学时应当鼓励有 能力的学生书写证明过程. 设计意图：在问题中使学生体验感性知识到理性知识，从具体到抽象的过程，对数学模型进行定性研究。 设计意图：木例是重径定理的应用，解题过程中使用了列方程的方法，用代数方法解决几何问题，这种思想应该向学生进行渗透. 设计意图：考查对垂径定理的运用. 设计意图：考查对垂径定理逆定理的运用.
板书设计 垂径定理 1．垂径定理 2．垂径定理的推论
课后小结
教学反思 垂径定理是中学数学中的一个很重要的定理，由于它涉及的条件结论比较多，学生容易搞混淆，本节课采取了讲练结合、动手操作的教学方法，课前布置所有同学制作一张圆形纸片，课上利用此纸片探索、体验圆是轴对称图形，并进一步利用圆的轴对称性探究垂径定理，环环相扣、逐层深入，激发学生的学习兴趣，收到了很好的教学效果.

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