资源简介

3.4 圆周角和圆心角的关系
第2课时 圆周角和直径的关系及圆内接四边形
教学内容 第2课时 圆周角和直径的关系及圆内接四边形 课时 1
核心素养目标 1.经历探索圆周角定理推论的过程，理解圆周角定理推论，体会分类讨论、化归的思想方法； 2.掌握圆周角定理的推论，能够利用推论，解决圆、三角形、四边形相关的几何问题，培养几何直观能力，逻辑推理能力.
知识目标 1．掌握圆周角和直径的关系，会熟练运用解决问题；(重点) 2．培养学生观察、分析及理解问题的能力，经历猜想、推理、验证等环节，获得正确的学习方式．(难点)
教学重点 圆周角定理推论的证明及应用.
教学难点 能够在图形中抽象基本图形，正确使用圆周角定理及其推论.
教学准备 课件
教学过程 主要师生活动 设计意图
一、情境导入 二、探究新知 当堂练习，巩固所学 创设情境，导入新知 问题 1 什么是圆周角？ 问题 2 什么是圆周角定理？ 师生活动：学生思考片刻，举手回答问题 预设：（1）顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫圆周角. （2）圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半. 小组合作，探究概念和性质 知识点一：直径所对应的圆周角 如图，BC 是⊙O 的直径，它所对的圆周角有什么特点？你能证明你的结论吗？ 首先，让学生明确，“它所对的圆周角”指的是哪个角？（∠BAC） 然后，让学生猜想，这个角的特点，并拿量角器实际测量，看看猜测是否准确.（∠BAC是一个直角） 最后，让学生自行考虑进行证明的方法.引导应用圆周角和圆心角关系定理进行证明. 预设： 猜想：直径 BC 所对的圆周角∠BAC＝90°. 证明：∵BC 为直径， ∴∠BOC＝180°， ∴根据圆周角定理，∠A＝∠BOC＝90°. （2）如图，圆周角∠A = 90°，弦 BC 是直径吗？为什么？ 师生活动： 首先，让学生猜想结果； 然后，再让学生尝试进行证明. 预设： 解：弦 BC 是直径. 连接 OC、OB， ∵圆周角∠A＝90°， ∴圆心角∠BOC＝2∠A＝180°. ∴ B、O、C 三点在同一直线上. ∴ BC 是⊙O 的一条直径. 活动的注意事项：在（2）证明弦BC是直径的问题中，学生往往容易进入误区，直接连接BC，认为BC过点O，则直接说BC是直径，这样的说理是错误的，应该是连接OB和OC，再证明三点共线.在此需要特别指出注意：此处不能直接连接BC，思路是先保证过点O，再证三点共线.对于三点共线，学生也可能忘记，需要老师从旁提醒. 归纳总结 推论 直径所对的圆周角是直角. 几何语句：∵ BC 为直径， ∴∠BAC = 90°. 推论 90° 的圆周角所对的弦是直径. 几何语句：∵∠BAC = 90°， ∴ BC 为直径 . 链接中考 1. (济南)如图，AB、CD 是 ⊙O 的直径，∠ACD = 25°，求∠BAD 的度数. 师生活动： 1.两名学生板演，其余学生在练习本上做题。 2小组内批阅。 3.对板演的内容进行评价纠错。 预设： 解：∵ AB 是 ⊙O 的直径， ∴∠ADB = 90°. ∵相同的弧所对应的圆周角相等，且∠ACD = 25°， ∴∠B = 25°. ∴∠BAD = 90°-∠B = 65°. 知识点二：圆内接四边形及其性质 如图，A，B，C，D 是 ⊙O 上的四点，AC 为⊙O 的直径，∠BAD 与 ∠BCD 之间有什么关系？为什么？ 师生活动： 教师从推论1图形基础上再补一个点，构成四边形. 此时学生观察四边形， 首先：引导学生进行猜想； 然后：让学生进行证明. 不难发现有两个直径所对的圆周角，根据四边形内角和360°，可以知∠BAD+∠BCD=180°； 预设： 解：∠BAD 与∠BCD 互补. ∵AC 为直径， ∴∠ABC = 90°，∠ADC = 90°. ∵∠ABC+∠BCD+∠ADC+∠BAD = 360°， ∴∠BAD +∠BCD = 180°. ∴∠BAD 与∠BCD 互补. (2) 如图，点 C 的位置发生了变化，∠BAD 与 ∠BCD 之间关系还成立吗？为什么？ 教师提问当对角线AC是圆内一条弦的时候，问题2中的关系是否成立；学生观察图形，此时圆心不在四边形对角线上，需要找到优弧所对圆心角、圆周角，可能会陷入∠BAD和∠BCD所对圆心角混淆的误区，以及不会对这两个圆心角的角度进行表达. 其次，在两个图形中四边形ABCD的共同特征探索方面，学生可能会简单问题复杂化，想到其他比较复习的特征，该给予肯定，但要引导学生不要把问题向复杂方向思考. 师生活动： 首先：让学生猜想结论； 然后：让学生拿出量角器进行度量，实验验证猜想结果； 最后：让学生利用所学知识进行严密证明. 预设： 解：∠BAD 与∠BCD 的关系仍然成立. 连接 OB，OD， 则∠BAD = ∠2，∠BCD = ∠1. ∵∠1 +∠2 = 360°， ∴∠BAD +∠BCD = 180°. ∴∠BAD 与∠BCD 互补. 归纳总结 四边形 ABCD 的四个顶点都在⊙O 上，像这样的四边形叫做圆内接四边形，这个圆叫做四边形的外接圆. 根据以上讨论你能发现什么结论？ 推论 圆内接四边形的对角互补. 几何语句： ∵四边形 ABCD 为圆内接四边形， ∴∠BAD+∠BCD = 180° （圆内接四边形的对角互补）. 想一想 如图，∠DCE 是圆内接四边形 ABCD 的一个外角，∠A 与 ∠DCE 的大小有何关系？ ∵∠A＋∠DCB＝180°， ∠DCB＋∠DCE＝180°. ∴∠A＝∠DCE. 师生活动： 让学生自主经历猜想，实验验证，严密证明三个环节 师生共同总结：圆内接四边形的任何一个外角都等于它的内对角. 链接中考 2.(长春) 如图，四边形 ABCD 为⊙O 的内接四边形,若∠BCD = 121° ，则 ∠BOD 的度数为 ( ) A. 138° B. 121° C. 118° D. 112° 师生活动：让学生尝试解答，并互相交流、总结，教师结合学生的具体活动，加以指导. 当堂练习，巩固所学 1. (泗阳县期末)如图，AB 是 ⊙O 的直径，弦 CD 交AB 与点 E，∠ADC = 26°，求∠CAB 的度数. 2.(阜宁县期末)如图，AB 是⊙O 的直径， C、D 是 ⊙O 的两点，且 AD = DC ， ∠DAC = 25°，求∠BAC 的度数 ( ) A. 30° B. 35° C. 40° D. 50° 4. (武汉)如图，以 AB 为直径的⊙O 经过△ABC 的顶点 C，AE，BE 分别平分 ∠BAC 和 ∠ABC，AE 的延长线交⊙O 于点 D. 连接 BD. 判断△BDE 的形状，并证明你的结论. 设计意图：复习圆周角、圆心角关系：圆周角等于它所对的弧上圆心角度数的一半，为圆周角定理推论的推导铺垫. 设计意图： 本环节的设置，需要学生经历猜想——实验验证——严密证明，这三个基本的环节，从而推导出从圆心角和圆周角关系定理推导出的两个推论. 设计意图：学会将文字语言转化为几何语言. 设计意图：加强学生对直径所对的圆周角是直角的理解与运用，并通过中考题，体会在中考中对这一知识点的考法.并且规范其过程. 设计意图：知识点2顺接推论1证明对角线为直径的四边形对角互补，此为圆内接四边形对角互补的特殊情形. 设计意图：通过对特殊图形的研究，探索出一个特殊的关系，然后进行一般图形的变换，让学生再次经历猜想—证明的基本环节，把结论从特殊推广到一般，培养学生的几何直观、逻辑推理能力. 设计意图：通过一个练习，让学生自主经历解决问题的三个基本环节，从而巩固本节课学习方法的应用，同时进一步研究圆内接四边形外角的性质： 圆内接四边形的任何一个外角都等于它的内对角. 设计意图：通过圆周角、圆心角相互转化，初步进行几何题训练，提高学生灵活运用推论，进行逻辑推理能力。发展学生几何猜想、推理验证的能力.
板书设计 圆周角和直径的关系及圆内接四边形 1．圆周角和直径的关系 2．圆内接四边形的概念和性质
课后小结
教学反思 本节课采用问题情境——自主探究——拓展应用的课堂教学模式，以问题为主，配合多媒体辅助教学，引导学生进行有效思考．在教学过程中，通过问题串启发引导，学生自主探究，创设情境等多种教学方式，激发学生学习兴趣，调动课堂气氛，收到了很好的教学效果.

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