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第4课时　直角三角形全等的判定(HL)
●悬念激趣　如图，舞台背景的形状是两个直角三角形，工作人员想知道这两个直角三角形是否全等，但每个三角形都有一条直角边被花盆遮住无法测量．
(1)你能帮他想个办法吗？
(2)如果他只带了一个卷尺，能完成这个任务吗？
工作人员测量了每个三角形没有被遮住的直角边和斜边，发现它们分别对应相等，于是他就肯定这两个直角三角形是全等的，你相信吗？
【教学与建议】教学：教师可以引导学生利用直角边和斜边分别对应相等导入课题，展开对判定两直角三角形全等的特殊条件的探索．建议：先利用投影给出问题，再引导学生思考、验证．
●归纳导入　1.判定两个三角形全等的方法有__SSS__、__SAS__、__ASA__、__AAS__．
2．如图，AB⊥BE于点B，DE⊥BE于点E.
(1)若∠A＝∠D，AB＝DE，则△ABC与△DEF__全等__，根据__ASA__；
(2)若∠A＝∠D，BC＝EF，则△ABC与△DEF__全等__，根据__AAS__；
(3)若AB＝DE，BC＝EF，则△ABC与△DEF__全等__，根据__SAS__；
(4)若AB＝DE，BC＝EF，AC＝DF，则△ABC与△DEF__全等__，根据__SSS__．
3．我们知道：满足“SSA”条件的两个三角形不一定全等，那么满足“SSA”条件的两个直角三角形(这个相等的角是直角)是否全等呢？现在我们就来研究这个问题．(引入新课)
【教学与建议】教学：在复习巩固原有知识的基础上，进一步探究直角三角形全等的判定方法．建议：教师可进一步设计一般三角形“SSA”与直角三角形“SSA”证明是否全等．
命题角度1　依据“HL”补充判定两个三角形全等的条件
在直角三角形中，已知直角边(斜边)一个条件，则需补充斜边(直角边)相等，这两个直角三角形全等．
【例1】如图，若要用“HL”证明Rt△ABC≌Rt△ABD，则需要添加的一个条件是__答案不唯一，如AC＝AD或BC＝BD__．
命题角度2　利用“HL”判定两直角三角形全等
“HL”只适用于直角三角形全等的判定，对于一般三角形不适用．
【例2】如图，已知AC⊥BD，垂足为点O，若AO＝CO，AB＝CD，则Rt△AOB≌Rt△COD，理由是(A)
A．HL B．SAS
C．ASA D．AAS
【例3】如图，已知∠C＝∠D＝90°，BC与AD交于点E，AC＝BD.求证：△ACB≌△BDA.
证明：∵∠C＝∠D＝90°，∴△ACB和△BDA是直角三角形．在Rt△ACB和Rt△BDA中，
∴Rt△ACB≌Rt△BDA(HL).
【例4】如图，AB⊥BD，CD⊥BD，AD＝BC.
求证：(1)AB＝CD；
(2)AD∥BC.
证明：(1)∵AB⊥BD，CD⊥BD，
∴∠ABD＝∠CDB＝90°.
在Rt△ABD和Rt△CDB中，
∵AD＝CB，BD＝DB，
∴Rt△ABD≌Rt△CDB(HL)，
∴AB＝CD；
(2)∵Rt△ABD≌Rt△CDB，
∴∠ADB＝∠CBD，∴AD∥BC.
命题角度3　综合运用全等三角形的性质
判定两个三角形全等时，要注意对应边、角的相对位置关系，然后根据条件选择合理的证明方法，运用全等三角形的性质灵活计算或证明．
【例5】如图，在△ABC中，∠C＝90°，DE⊥AB于点E，BE＝BC.如果AC＝6，那么AD与DE的长度和为__6__．
【例6】如图，在△ABC中，AB＝AC，DE是过点A的直线，BD⊥DE于点D，CE⊥DE于点E.若B，C在DE的同侧且AD＝CE.求证：AB⊥AC.
证明：∵BD⊥DE，CE⊥DE，∴∠ADB＝∠AEC＝90°.
在Rt△ABD和Rt△CAE中，
∴Rt△ABD≌Rt△CAE(HL).∴∠DBA＝∠EAC.
∵∠BAD＋∠DBA＝90°，∴∠BAD＋∠EAC＝90°，
∴∠BAC＝180°－(∠BAD＋∠EAC)＝90°，∴AB⊥AC.
高效课堂　教学设计
1．理解并掌握直角三角形全等的“斜边、直角边”(HL)判定方法．
2．学会运用“斜边、直角边(HL)”判定方法进行简单的证明．
▲重点
探究直角三角形全等的条件．
▲难点
灵活运用五种方法来判定直角三角形全等．
◆活动1　新课导入
1．有__两角__和它们的__夹边__对应__相等__的两个三角形全等，可简写成“__角边角__”或“__ASA__”．
2．有__两角__和其中一角的__对边__对应相等的两个三角形全等，可简写成“__角角边__”或“__AAS__”．
3．三个角分别相等的两个三角形__不一定__全等．
◆活动2　探究新知
1．教材P41　思考．
提出问题：
(1)判定一般三角形全等的依据是什么？请说出它们的共同点；
(2)对于两个直角三角形，除了直角相等外，还需要满足几个条件，就能证明这两个直角三角形全等？
学生完成并交流展示．
2．教材P42　探究5.
提出问题：
(1)你能画出Rt△A′B′C′吗？怎么画？用什么方法？
(2)将画好的Rt△A′B′C′剪下，比一比，看一看，它能否与Rt△ABC重合？
(3)根据上面的探究，你能否得出判定两个直角三角形全等的条件？
学生完成并交流展示．
◆活动3　知识归纳
1．__斜边__和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等，简写成“斜边、直角边”或“__HL__”．
2．判定两个直角三角形全等的方法有__SSS__、__SAS__、__ASA__、__AAS__、__HL__．HL只适用于__直角三角形__，对于一般三角形不适用．
◆活动4　例题与练习
例1　教材P42　例5.
例2　如图，已知AB＝CD，DE⊥AC于点E，BF⊥AC于点F，且BF＝DE.求证：AB∥CD.
证明：∵BF⊥AC，DE⊥AC，∴∠AFB＝∠CED＝90°.
在Rt△ABF和Rt△CDE中，
∴Rt△ABF≌Rt△CDE(HL)，∴∠BAF＝∠DCE，∴AB∥CD.
例3　如图，AD是△ABC的高，E为AC上一点，BE交AD于点F，且有BF＝AC，FD＝CD，试说明BE与AC的位置关系，并说明理由．
解：BE⊥AC.理由如下：∵AD⊥BC，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°.
又∵BF＝AC，FD＝CD，
∴△BDF≌△ADC(HL)，∴∠DBF＝∠DAC.
又∵∠DAC＋∠C＝90°，∴∠EBC＋∠C＝90°，∴BE⊥AC.
练习
1．教材P43　练习第1，2题．
2．下列叙述中不正确的是(C)
A．斜边和一锐角对应相等的两个直角三角形全等
B．有两边对应相等的两个直角三角形全等
C．有两个锐角对应相等的两个直角三角形全等
D．有一直角边和一锐角对应相等的两个直角三角形全等
3．如图，AD＝BC，∠C＝∠D＝90°，下列结论中不成立的是(C)
　A．∠DAE＝∠CBE　　　　　　　　　　B．CE＝DE
　C．△DAE与△CBE不一定全等 D．∠1＝∠2
　　　　
4．如图，在长方形ABCD中，AB＝4，AD＝6，延长BC到点E，使CE＝2，连接DE.动点P从点B出发，以每秒2个单位的速度沿BC－CD－DA向终点A运动．设点P的运动时间为t s，当△ABP和△DCE全等时，t的值为(C)
　A．1 B．1或3 C．1或7 D．3或7
5．如图，已知CE⊥AB，DF⊥AB，AC＝BD，CE＝DF.求证：AC∥BD.
证明：∵CE⊥AB，DF⊥AB，∴∠CEA＝∠DFB＝90°.又∵AC＝BD，CE＝DF，∴Rt△ACE≌Rt△BDF(HL)，∴∠A＝∠B，∴AC∥BD.
◆活动5　课堂小结
1．“斜边、直角边(HL)”的认识．
2．“斜边、直角边(HL)”的运用．
1．作业布置
(1)教材P44　习题12.2第7，8题；
(2)对应课时练习．
2．教学反思

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