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12.3　角的平分线的性质
第1课时　角的平分线的画法及性质
●置疑导入　如图是小勋制作的风筝，他根据AB＝AD，BC＝DC，不用度量就知道AC是∠DAB的平分线，你知道其中的道理吗？
【教学与建议】教学：以风筝为例导入，充分调动学生的学习兴趣．建议：引导学生利用三角形“SSS”判定全等，得到AC是∠DAB的平分线．
●置疑导入　用折纸的方法作角平分线时，将∠AOB对折，再折成直角三角形，然后展开(如图所示)，观察两个直角三角形全等吗？两条直角边PD，PE与该角的两边有什么关系？你能归纳角平分线的性质吗？你能证明这个性质吗？请用数学符号描述此性质．
【教学与建议】教学：动手折纸使学生从实践中发现角平分线的作图方法及性质．建议：运用教具(或动画)直观地进行讲述，提出探究的问题．
命题角度1　角的平分线的作图
根据题目要求，利用尺规作图的方法作一个角的平分线，其依据是全等三角形的判定方法“SSS”．
【例1】如图，铁路OA和铁路OB交于O处，河道AB与铁路分别交于A处和B处，试在河岸上建一座水厂M，要求M到铁路OA，OB的距离相等，则该水厂M应建在图中什么位置？请在图中标出M点的位置．
解：作∠AOB的平分线交AB于点M，即M处为水厂的位置．
命题角度2　利用角平分线的性质解决有关问题
利用角的平分线的性质解决问题的关键：寻找角的平分线上的一点到角两边的垂线段，利用角平分线的性质计算线段长度或面积．
【例2】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，CD＝4，AB＝11，则△ABD的面积等于(B)
A．30 B．22 C．44 D．10
　　　　　　
【例3】如图，AB∥CD，BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB，AD过点P，且与AB垂直．若AD＝7，则点P到BC的距离是__3.5__．
【例4】如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，∠C＝90°，DE⊥AB于点E，BD＝DF，求证：CF＝EB.
证明：∵AD平分∠BAC，∠C＝90°，DE⊥AB，
∴DE＝DC.
在Rt△CDF和Rt△EDB中，
∴Rt△CDF≌Rt△EDB(HL).
∴CF＝EB.
高效课堂　教学设计
1．让学生学会用尺规作一个已知角的平分线．
2．探索并证明角平分线的性质．
3．让学生学会用角平分线的性质解决有关问题．
▲重点
掌握角平分线的性质．
▲难点
灵活运用角平分线的性质解决问题．
◆活动1　新课导入
如图是一个平分角的仪器，其中AB＝AD，BC＝DC.将点A放在角的顶点，AB和AD沿着角的两边放下，沿AC画一条射线AE，AE就是这个角的平分线．你能说明它的道理吗？
◆活动2　探究新知
1．教材P48　两个思考之间的内容．
提出问题：
(1)你知道怎么画一个角的平分线吗？
(2)在作图过程中为什么要以大于MN的长为半径画弧？
(3)为什么OC是∠AOB的平分线？理论依据是什么？
学生完成并交流展示．
2．教材P48　第2个思考．
提出问题：
(1)通过测量PD，PE的长度，你能得出什么结论？
(2)在OC上再多取几个点试一试，上面的结论还成立吗？
(3)通过上面的探索你能归纳出角的平分线的性质吗？
(4)你能证明这个性质吗？
学生完成并交流展示．
◆活动3　知识归纳
提出问题：
(1)作已知角的平分线的方法有哪些？
(2)证明一个几何命题的步骤是什么？
1．作已知角的平分线的方法有很多，主要有折叠法和__尺规作图法__．
2．角的平分线上的点到角的两边的距离__相等__．
3．一般情况下，证明一个几何命题时，可以按照以下的步骤进行：(1)明确命题中的__已知__和__求证__；(2)根据题意，画出__图形__，并用数学__符号__表示已知和求证；(3)经过分析，找出由已知推出要证的结论的途径，写出__证明过程__．
◆活动4　例题与练习
例1　如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，且BD＝CD，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F.求证：∠B＝∠C.
证明：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE＝DF，∠BED＝∠CFD＝90°.
在Rt△BDE和Rt△CDF中，
DE＝DF，DB＝DC，
∴Rt△BDE≌Rt△CDF(HL)，
∴∠B＝∠C.
例2　如图，在四边形ABCD中，AC平分∠BAD，过点C作CE⊥AB于点E，且CD＝CB，∠ABC＋∠ADC＝180°.
求证：AE＝(AB＋AD).
证明：过点C作CF⊥AD，交AD的延长线于点F.
∵AC平分∠BAD，CE⊥AB，CF⊥AD，∴CE＝CF.
又∵CD＝CB，∴Rt△CEB≌Rt△CFD(HL)，∴DF＝BE.
∵CE＝CF，AC＝AC，∴Rt△AEC≌Rt△AFC(HL)，
∴AF＝AE，∴DF＝AF－AD＝AE－AD.
∵BE＝AB－AE，DF＝BE，
∴AE－AD＝AB－AE，∴AE＝(AB＋AD).
练习
1．教材P50　练习第1题．
2．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD平分∠CAB交BC于点D，DE⊥AB于点E，且AB＝6 cm，则△DEB的周长为(B)
　A．4 cm B．6 cm C．8 cm D．10 cm
　　　　　
3．如图，AB∥CD，BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB，AD过点P且与AB垂直．若AD＝8，则点P到BC的距离是(C)
　A．8 B．6 C．4 D．2
4．如图，已知OD平分∠AOB，P是OD上一点，在OA，OB边上取OA＝OB，PM⊥BD，PN⊥AD，垂足分别为M，N.求证：PM＝PN.
证明：∵OD平分∠AOB，∴∠1＝∠2.
又∵OA＝OB，OD＝OD，
∴△AOD≌△BOD(SAS)，∴∠3＝∠4.
∵PM⊥DB，PN⊥DA，∴∠DMP＝∠DNP.
又∵DP＝DP，∴△DMP≌△DNP(AAS)，
∴PM＝PN.
◆活动5　课堂小结
角平分线的性质及应用．
1．作业布置
(1)教材P51　习题12.3第1，2题；
(2)对应课时练习．
2．教学反思

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