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13.1.2　线段的垂直平分线的性质
第1课时　线段的垂直平分线的性质和判定
●归纳导入　通过几何画板课件的演示，探索线段垂直平分线的性质．
探究(一)演示课件：如图所示，点P在线段AB的垂直平分线上运动，测量PA，PB的长度，你能发现什么规律？__PA＝PB__．
　　　　
PA PB
1.90 cm 1.90 cm
1.48 cm 1.48 cm
1.75 cm 1.75 cm
1.57 cm 1.57 cm
1.80 cm 1.80 cm
0.75 cm 0.75 cm
0.50 cm 0.50 cm
探究(二)证明结论：利用几何画板中的图形证明所得结论．__线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等__．
【教学与建议】教学：利用几何画板的测量功能能表明PA＝PB，但需要证明．建议：学生独立观察教师演示的课件，很容易归纳结论．证明过程中可以指定学生板演证明过程，其余同学在练习本上完成．
●类比导入　1.前面我们学习了角的平分线的性质和判定，具体内容是什么？
2．我们学习了线段的垂直平分线，既然“角的平分线”与“线段的垂直平分线”都是“平分线”，那么它们之间有哪些相似之处呢？
3．你能证明你发现的结论是正确的吗？
【教学与建议】教学：利用角的平分线与线段的垂直平分线的相似之处猜想结论．建议：启发学生画图观察，仿照角的平分线从定义、性质和判定三个角度思考，类比角的平分线定义可以得出倍半关系，类比角的平分线性质与判定分别得到线段的垂直平分线的性质与判定．
命题角度1　利用线段垂直平分线的性质进行有关的计算与证明
(1)利用线段垂直平分线的性质解决问题，一般需要连接直线上某一点与线段两端点的线段(常用的添加辅助线的方法)，从而由性质可以直接得到相等的两条线段．(2)把未知的线段通过线段的垂直平分线的性质转化为已知的线段．
【例1】如图，在△ABC中，AC＝12，BC＝8，AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，则△BCE的周长是__20__．
【例2】如图，已知CD垂直平分AB，若AC＝4 cm，AD＝5 cm，则四边形ADBC的周长是__18__cm.
【例3】如图，AB＝CD，线段AC的垂直平分线与线段BD的垂直平分线相交于点E.求证：∠ABE＝∠CDE.
证明：如图，连接AE，CE.
∵线段AC的垂直平分线与BD的垂直平分线相交于点E.
∴AE＝CE，BE＝DE.在△ABE和△CDE中，
∴△ABE≌△CDE(SSS).
∴∠ABE＝∠CDE.
命题角度2　线段垂直平分线的判定
一点与一条线段的两个端点距离相等，可判定该点在这条线段的垂直平分线上．
【例4】如图，△ABC中，AB＞AC＞BC，边AB上存在一点，使得PA＋PC＝AB.下列描述正确的是(D)
A.P是∠ACB的平分线与AB的交点
B．P是以点B为圆心，AC长为半径的弧与边AB的交点
C．P是AC的垂直平分线与AB的交点
D．P是BC的垂直平分线与AB的交点
【例5】如图，AB＝AC，MB＝MC.求证：直线AM是线段BC的垂直平分线．
证明：∵AB＝AC，
∴点A在线段BC的垂直平分线上．
∵MB＝MC，∴点M在线段BC的垂直平分线上．
∴直线AM是线段BC的垂直平分线．
命题角度3　综合运用线段的垂直平分线的性质和判定
(1)利用线段垂直平分线的性质可证明两线段相等；(2)利用线段垂直平分线的判定可证明垂直关系和线段相等关系．
【例6】如图，已知AB＝AC，DB＝DC，P是AD上的一点．求证：∠ABP＝∠ACP.
证明：连接BC.∵AB＝AC，∴点A在线段BC的垂直平分线上．
∵DB＝DC，∴点D在线段BC的垂直平分线上．
∴直线AD是线段BC的垂直平分线．
∵点P在直线AD上，∴PB＝PC.
在△ABP和△ACP中
∴△ABP≌△ACP(SSS).
∴∠ABP＝∠ACP.
高效课堂　教学设计
1．掌握线段垂直平分线的概念．
2．理解线段垂直平分线的性质和判定定理．
3．运用线段垂直平分线的性质和判定定理解决几何问题．
▲重点
掌握线段垂直平分线的性质和判定，并学会运用．
▲难点
运用线段垂直平分线的性质和判定定理解决几何问题．
◆活动1　新课导入
1．经过线段的__中点__并且__垂直__于这条线段的__直线__，叫做这条线段的垂直平分线．
2．轴对称的性质：如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的__垂直平分线__；类似地，轴对称图形的性质：轴对称图形的对称轴，是__任何一对对应点所连线段__的垂直平分线．
◆活动2　探究新知
1．教材P61　探究．
提出问题：
(1)量一量点P1，P2，P3，…到点A与点B的距离，你有什么发现？
(2)你能否通过理论验证你的发现？
(3)如果P1A＝P1B，P2A＝P2B，……，那么能否说明P1，P2，…在线段AB的垂直平分线上？
学生完成并交流展示．
2．教材P62　例1.
提出问题：
(1)用尺规作图：经过已知直线外一点作这条直线的垂线，共有几步？
(2)“分别以点D和点E为圆心，大于DE的长为半径作弧”该步中为何要以“大于DE的长”为半径作弧？
(3)该作图的依据是什么？
学生完成并交流展示．
◆活动3　知识归纳
1．线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离__相等__．
2．与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的__垂直平分线上__．
◆活动4　例题与练习
例1　如图，在某河道l的同侧有两个村庄A，B，现要在河道上建一个水泵站，这个水泵站建在什么位置，能使两个村庄到水泵站的距离相等？
解：如图．连接AB，作线段AB的垂直平分线，与直线l的交点即为所求水泵站的位置．
例2　如图，AD⊥BC，BD＝CD，点C在AE的垂直平分线上，若AB＝5 cm，BD＝3 cm，求BE的长．
解：∵AD⊥BC，BD＝CD，∴AB＝AC.∵点C在AE的垂直平分线上，∴AC＝CE.∵AB＝5 cm，BD＝3 cm，∴CE＝AC＝AB＝5 cm，CD＝3 cm，∴BE＝BD＋DC＋CE＝3＋3＋5＝11(cm).
例3　如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°.
(1)用尺规在边BC上求作一点P，使PA＝PB；(不写作法，保留作图痕迹)
(2)连接AP，当∠B为多少度时，AP平分∠CAB.
解：(1)如图；
(2)∵PA＝PB，∴∠PAB＝∠B.∵AP平分∠CAB，∴∠PAB＝∠PAC，∴∠PAB＝∠PAC＝∠B.∵∠ACB＝90°，∴∠PAB＋∠PAC＋∠B＝90°，∴3∠B＝90°，即当∠B＝30°时，AP平分∠CAB.
练习
1．教材P62　练习第1，2题．
2．如图，△ABC的周长为30 cm，把△ABC的边AC对折，使顶点C和点A重合，折痕交边BC于点D，交边AC于点E.若△ABD的周长是22 cm，则AE的长为(C)
A．2 cm B．3 cm C．4 cm D．5 cm
　　　　　　
3．如图，在△ABC中，AC＝10，BC＝6，AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，则△BCE的周长是__16__．
4．如图，点D在△ABC的边BC上，且BC＝BD＋AD，则点D在__AC__的垂直平分线上．
◆活动5　课堂小结
1．线段垂直平分线的性质、判定及运用．
2．过直线外一点作已知直线的垂线．
1．作业布置
(1)教材P65～66　习题13.1第6，9，10题；
(2)对应课时练习．
2．教学反思

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