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第2课时　角的平分线的判定
●类比导入　(1)角的平分线的性质定理是__角的平分线上的点到角的两边的距离相等__．
(2)我们学过很多定理，比如平行线的性质定理和判定定理，它们的题设和结论是互换的，你能说出将角的平分线的性质定理的题设和结论互换得到的命题吗？(3)你觉得这个新命题正确吗？这节课我们将学习角的平分线的判定．
【教学与建议】教学：通过对已知定理转化命题的题设和结论的方式，得到新命题，是探索新知识的一种重要手段．建议：类比性质定理得到判定定理，以知识为载体感受逆向思维与类比思想的重要意义．
●悬念激趣　某考古队为了进行研究，寻找一座古城遗址，根据史料记载，该古城在森林附近，到两条河岸的距离相等，到古塔的距离是3 000 m，如图所示(比例尺为1∶200 000)．根据这些资料，考古队很快找到了这座古城的遗址．你能在图中标出古城遗址的位置吗？
【教学与建议】教学：通过探秘古城遗址的方式，激发学生兴趣，体现数学知识的实际应用．建议：根据图示抽象出简单的几何图形；要确定一个点的位置，通常利用两条线(直线或弧线)的交点来确定，由“到古塔的距离是3 000 m”可知这个点一定在以古塔为圆心、以3 000 m(图上距离是1.5 cm)为半径的圆(弧)上；另这个点“到两条河岸的距离相等”如何确定呢？这就是我们本节课要学习的内容．
命题角度1　利用角的平分线的判定解决有关问题
题目中如果要证明一条射线是角平分线，要根据该线上任意一点到角两边的距离相等来证明，也可以利用角平分线的定义来解决．
【例1】如图，已知DB⊥AE于点B，DC⊥AF于点C，且DB＝DC，∠BAC＝40°，∠ADG＝130°，则∠DGF＝__150°__.
【例2】如图，以△ABC的两边AB，AC为边分别向外作等边三角形ABD和等边三角形ACE，连接BE，CD交于点O，求证：OA平分∠DOE.
证明：过点A分别作AM⊥DC于点M，AN⊥BE于点N.∵△ABD，△ACE是等边三角形，
∴AD＝AB，AE＝AC，∠DAB＝∠EAC＝60°，
∴∠DAC＝∠BAE，∴△DAC≌△BAE(SAS)，∴DC＝BE.
又∵S△DAC＝S△BAE，即DC·AM＝BE·AN，∴AM＝AN.
又∵AM⊥OD，AN⊥OE，
∴OA平分∠DOE.
命题角度2　综合运用角的平分线的性质和判定解决实际问题
(1)在实际问题中，确定位置(如建货物中转站、建集市、建水库等)的问题，常用角的平分线的性质来解决．(2)运用角平分线的性质和判定解决实际问题时，一定要把实际问题中道路、河流等抽象成数学图形中的直线，并且要求的点是到两线的距离相等，常常确定两线夹角的平分线上的点．
【例3】如图，直线l，l′，l″表示三条相互交叉的公路，现计划建一个加油站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有(D)
A.1处
B．2处
C．3处
D．4处
高效课堂　教学设计
1．掌握角的平分线的判定，认识三角形的重心．
2．学会运用角平分线的性质和判定解决几何证明、计算与实际问题．
▲重点
角的平分线的判定．
▲难点
角的平分线的性质与判定定理的灵活运用．
◆活动1　新课导入
1．点到直线的距离，就是这一点到直线的__垂线段__的长度．
2．角平分线上的点到角的两边的距离__相等__．
3．如图，OP平分∠MON，PA⊥ON于点A，点Q是射线OM上的一个动点．若PA＝2，则PQ的最小值为(　B　)
A．1　　　　　B．2　　　　　C．3　　　　　D．4
◆活动2　探究新知
1．教材P49　思考．
提出问题：
(1)集贸市场应该建在何处？是不是在公路、铁路所组成的角的平分线上？
(2)通过上面的探索我们能得出什么结论？
(3)我们能不能证明上面的结论？
学生完成并交流展示．
2．教材P50　例题．
提出问题：
(1)点P在∠A的平分线上吗？为什么？
(2)这说明三角形的三条角平分线有什么关系？
学生完成并交流展示．
◆活动3　知识归纳
1．角的内部到角的两边的距离相等的点在__角的平分线上__．
2．三角形的三条角平分线相交于一点，这一点到三角形三边的距离__相等__．
◆活动4　例题与练习
例1　如图，已知BE⊥AC，CF⊥AB，垂足分别为E，F，BE，CF相交于点D，BD＝CD.求证：AD平分∠BAC.
证明：∵BE⊥AC，CF⊥AB，∴∠BFD＝∠CED＝90°.
又∵∠BDF＝∠CDE，BD＝CD，
∴△BDF≌△CDE(AAS)，∴DF＝DE.
又∵DE⊥AC，DF⊥AB，∴AD平分∠BAC.
例2　如图，∠ABC的平分线与∠ACB的外角平分线相交于点D，连接AD.求证：AD是∠BAC的外角平分线.
证明：过点D分别作DE⊥AB，DG⊥AC，DF⊥BC，垂足分别为E，G，F.∵BD平分∠ABC，CD平分∠ACF，∴DE＝DF，DG＝DF，∴DE＝DG，∴AD平分∠EAC，即AD是∠BAC的外角平分线．
例3　如图，∠B＝∠C＝90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC.
(1)若连接AM，则AM是否平分∠BAD？请证明你的结论；
(2)求证：CD＋AB＝AD；
(3)若BC＝12，AD＝13，求S△AMD.
解：(1)AM平分∠BAD.证明如下：过点M作ME⊥AD于点E.
又∵∠C＝90°，DM平分∠ADC，∴ME＝MC.
∵M是BC的中点，∴MC＝MB，∴ME＝MB.
又∵ME⊥AD，∠B＝90°，∴AM平分∠BAD；
(2)易证Rt△MCD≌Rt△MED，Rt△MBA≌Rt△MEA，
∴DE＝CD，AB＝AE.
又∵AD＝AE＋DE，
∴CD＋AB＝AD；
(3)由(2)易得CD＋AB＝AD＝13，S△AMD＝S梯形ABCD.
∵S梯形ABCD＝(CD＋AB)·BC＝×13×12＝78，
∴S△AMD＝×78＝39.
练习
1．教材P50　练习第2题．
2．如图，点P是∠MON内一点，PA⊥ON于点A，PB⊥OM于点B，且PA＝PB.若∠MON＝50°，C为OA上一点且∠OPC＝30°，则∠PCA的度数为(B)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　A．50° B．55° C．60° D．80°
　　　　　　
3．在正方形网格中，∠AOB的位置如图所示，到∠AOB两边距离相等的点应是(A)
　A．点M B．点N C．点P D．点Q
4．如图，B是∠CAF内一点，点D在AC上，点E在AF上，且DC＝EF，△BCD与△BEF的面积相等．求证：AB平分∠CAF.
证明：过点B作BM⊥AC于点M，BN⊥AF于点N.∵△BCD与△BEF的面积相等，
∴DC·BM＝EF·BN.
∵DC＝EF，
∴BM＝BN，
∴AB平分∠CAF.
◆活动5　课堂小结
1．角平分线的判定及运用．
2．角的平分线的性质与判定的灵活运用．
1．作业布置
(1)教材P51　习题12.3第3，4，7题；
(2)对应课时练习．
2．教学反思

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