资源简介

13.3　等腰三角形
13．3.1　等腰三角形
第1课时　等腰三角形的性质
●悬念激趣　(1)如图是一组含有等腰三角形的生活图片，这些图片有哪些共同点？
　
(2)将一把等腰三角尺和一个铅锤按图放置，就能检查一根横梁是否水平，你知道为什么吗？
要想解决这个问题我们需要先研究等腰三角形具有哪些性质．
【教学与建议】教学：活跃课堂气氛，让学生带着问题进入学习，也为后面的学习打下基础．建议：尽量给学生制造疑问，如怎样检查一根横梁是否水平；测平仪能测平的道理是什么等．
●归纳导入　问题1：如图①，把一张长方形的纸按图中虚线对折，并剪去阴影部分，再把它展开，得到的△ABC有什么特点？你能画出具有这种特点的三角形吗？
　　
学生动手操作，从剪出的图形观察△ABC的特点，可以发现AB＝__AC__．
归纳：有两边相等的三角形是__等腰三角形__，相等的两边叫做__腰__，另一边叫做__底边__，两腰的夹角叫做__顶角__，底边和腰的夹角叫做__底角__(如图②)．
问题2：把问题1中剪下的△ABC沿折痕AD对折，找出其中重合的线段和角，你能填好下表吗？
重合的线段 重合的角
AB＝AC ∠B＝∠C
BD＝CD ∠BAD＝∠CAD
AD＝AD ∠ADB＝∠ADC
　从上表中你能发现等腰三角形具有什么性质吗？(引入课题)
【教学与建议】教学：创设问题情境，激发学生的学习兴趣，归纳等腰三角形的性质．建议：教师引导学生归纳．性质1：等腰三角形的两个底角相等(简写成“等边对等角”)；性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合(简写成“三线合一”)．
命题角度1　利用等腰三角形的定义(两边相等)解决问题
当已知边没有确定为底边或腰时，要分情况讨论求解，并注意三角形的三边关系这一隐含条件．
【例1】一个等腰三角形的一边长为2 cm，另一边长为5 cm，那么这个等腰三角形的周长是(B)
A．9 cm B．12 cm
C．9 cm或12 cm D．以上都不对
【例2】等腰三角形的底边长为8 cm，一腰上的中线把这个三角形分成周长差为2 cm的两部分，则腰长为__6__cm或10__cm__.
命题角度2　利用等腰三角形的性质进行角度计算
(1)在等腰三角形中，当已知锐角不能确定是顶角还是底角时，需分类讨论；
(2)在等腰三角形中，已知的直角或钝角只能是顶角，不需分类讨论．
【例3】如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在CA的延长线上，DE⊥BC于点E，∠BAC＝100°，则∠D等于(B)
A．40° B．50°
C．60° D．80°
【例4】等腰三角形的一个角是30°，则这个等腰三角形的底角为(C)
A．75° B．30° C．75°或30° D．不能确定
【例5】等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，则这个等腰三角形的顶角为__60°或120°__．
命题角度3　利用等腰三角形的性质证明有关结论
(1)等腰三角形“等边对等角”的性质在证全等三角形时可以得到等角．(2)等腰三角形“三线合一”的性质可以用来证明角相等、线段相等和线段垂直．
【例6】如图，已知AB＝AC，BD⊥AC于点D.求证：∠BAD＝2∠DBC.
证明：过点A作AE⊥BC于点E.
∵AB＝AC，∴∠BAD＝2∠2.
∵BD⊥AC于点D，∴∠BDC＝90°.
∴∠2＋∠C＝∠C＋∠DBC＝90°.
∴∠DBC＝∠2.∴∠BAD＝2∠DBC.
【例7】如图，点D，E在△ABC的BC边上，AB＝AC，AD＝AE.求证：BD＝CE.
证明：如图，过点A作AP⊥BC于点P.
∵AB＝AC，∴BP＝PC.∵AD＝AE，∴DP＝PE.
∴BP－DP＝PC－PE.∴BD＝CE.
高效课堂　教学设计
1．探索并证明等腰三角形的性质．
2．运用等腰三角形的性质证明两个角相等或两条线段相等．
3．体会轴对称在研究几何问题中的作用．
▲重点
理解和掌握等腰三角形的性质．
▲难点
等腰三角形性质证明中辅助线的添加和对性质2的理解．
◆活动1　新课导入
提出问题：(1)把一张长方形的纸片对折，并剪下阴影部分(教材P75图13.3－1)，再把它展开，得到一个什么图形？
(2)上述过程中得到的△ABC有什么特点？
(3)除了剪纸的方法，还可以怎样作出一个等腰三角形？
学生动手剪纸、观察，教师在学生观察的同时提出问题．
学生讨论问题(3)，教师在学生充分发表自己想法的基础上给出画图的方法，并画出图形．
◆活动2　探究新知
1．如图，将一张长方形纸片对折，沿图中虚线剪下一个三角形，把得到的三角形记为△ABC，并将折线的另一端记为D.
提出问题：
(1)△ABC是什么特殊三角形？为什么？
(2)把剪出的等腰三角形ABC沿折痕AD对折，找出其中重合的线段和角，填入下表：
重合的线段 重合的角
__AB__与__AC__ __∠B__与__∠C__
__BD__与__CD__ __∠BAD__与__∠CAD__
__AD__与__AD__ __∠ADB__与__∠ADC__
(3)图中有哪些相等的角？有哪些相等的线段？
(4)△ABC是不是轴对称图形？对称轴是什么？
(5)等腰三角形ABC除两腰相等外，角有什么性质？
(6)在等腰三角形ABC中，AD有几种角色？各是什么？
(7)等腰三角形具有哪些性质？
学生完成并交流展示．
◆活动3　知识归纳
1．性质1：等腰三角形的两个__底角__相等(简写成“等边对__等角__”).
2．性质2：等腰三角形的__顶角平分线__、__底边上的高__、__底边上的中线__互相重合(简写成“__三线合一__”).
◆活动4　例题与练习
例1　教材P76　例1.
例2　如图，在△ABC中，AB＝AC，点D是BC的中点，点E在AD上．求证：BE＝CE.
证明：∵AB＝AC，点D是BC的中点，∴AD⊥BC，∴AD是BC的垂直平分线．又∵点E在AD上，∴BE＝CE.
例3　如图，在△ABC中，AB＝AC，点E在CA的延长线上，且∠AEF＝∠AFE，试问直线EF和BC有何位置关系？并说明理由．
解：EF⊥BC.理由如下：过点A作AD⊥BC于点D.∵AB＝AC，∴∠BAD＝∠BAC.∵∠BAC＝∠AEF＋∠AFE，∠AEF＝∠AFE，∴∠AFE＝∠BAC＝∠BAD，∴EF∥AD.又∵AD⊥BC，∴EF⊥BC.
练习
1．教材P77　练习第1，2，3题．
2．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝30°，AB的垂直平分线l交AC于点D，则∠CBD的度数为(B)
A．30° B．45° C．50° D．75°
　　　　　
3．如图，在△ABC中，点D在边BC上，BD＝AD＝AC，E为CD的中点．若∠CAE＝16°，则∠B＝__37°__．
4．如图，点D，E在△ABC的边BC上，AB＝AC，AD＝AE.求证：BD＝CE.
证明：过点A作AF⊥BC于点F，则AF⊥DE.∵AB＝AC，AD＝AE，∴BF＝CF，DF＝EF，∴BF－DF＝CF－EF，即BD＝CE.
◆活动5　课堂小结
1．等腰三角形的性质．
2．等腰三角形性质的运用．
1．作业布置
(1)教材P81～82　习题13.3第1，3，4，6，7，9题；
(2)对应课时练习．
2．教学反思

展开更多......

收起↑