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13.3.2　等边三角形
第1课时　等边三角形的性质与判定
●置疑导入　在一次探究活动中，老师给同学们出了一道题目：“如果等腰三角形有一个角是60°，那么这个三角形的三边有什么关系？”
小勋假设底角为60°，得出了三个角都是60°；小强假设顶角为60°，也得出了三个角都是60°，根据“等角对等边”，最后得出结论：三边都相等．
老师告诉他们“这种三条边都相等的三角形叫做等边三角形”．小勋、小强也发表了自己的看法，小勋认为“三条边都相等的三角形是等边三角形，而不是等腰三角形”；小强认为“等边三角形也是等腰三角形，只是比一般的等腰三角形特殊而已”．小勋、小强谁的看法有道理呢？
【教学与建议】教学：通过问题情境引入本节课的课题，增强学生的学习兴趣．建议：教师注重引导分类讨论，让学生经历观察——实践——猜想——证明的思维过程．
●复习导入　在等腰三角形中，有一种特殊的情况，三角形三边都相等．我们把三条边都相等的三角形叫做等边三角形．
1．观察与讨论：如图所示的△ABC是等边三角形，等边三角形的性质有哪些？
(1)等边三角形的三个内角都__相等__，并且每一个角都等于__60°__；
(2)等边三角形是__轴对称__图形，有__三__条对称轴；
(3)等边三角形各边上的中线、高和所对角的__平分线__互相重合.
2．类似地，你能得到哪些等边三角形的判定方法呢？
(1)等边三角形的三个角都相等，并且每个角都是60°，反之，如果告诉你一个三角形的三个角都相等，你能确定这个三角形是等边三角形吗？
(2)你认为有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形吗？
【教学与建议】教学：问题引入简单明了直奔主题，通过问题串的形式激发学生对新知识的浓厚兴趣．建议：让学生亲自去观察探究，亲自去尝试证明．
命题角度1　利用等边三角形的性质与判定进行简单的计算或证明
从等边三角形的性质中发现一些可利用的条件是解决问题的关键．另外，在证明线段或角相等时，可考虑证明三角形全等．
【例1】由于木质衣架没有柔性，在挂置衣服的时候不太方便操作，小敏设计了一种衣架，在使用时能轻易收拢，套进衣服后松开即可．如图①，衣架杆OA＝OB＝17 cm，若衣架收拢时，∠AOB＝60°，如图②，则此时A，B两点之间的距离是__17__cm.
　　　　　
【例2】如图，已知P，Q是△ABC的边BC上两点且PB＝PQ＝QC＝AP＝AQ，∠BAC＝__120°__．
【例3】如图，D，E分别是等边三角形ABC的边BC，CA的延长线上的点，且CD＝AE，连接AD，BE.求证：AD＝BE.
证明：∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC＝∠ACB＝60°，AC＝AB.
∴∠BAE＝∠ACD＝120°.
在△ABE和△CAD中，
∴△ABE≌△CAD(SAS).
∴AD＝BE.
命题角度2　与等边三角形有关的变式拓展型问题
此类问题通常以等边三角形为背景，结合全等三角形的性质和判定等知识综合命题．
【例4】如图，已知△ABC和△CDE均为等边三角形，且点B，C，D在同一条直线上，连接AD，BE，交CE和AC分别于G，H点，连接GH.
(1)证明：AD＝BE；
(2)证明：△BCH≌△ACG；
(3)试猜想：△CGH是什么特殊的三角形，并证明．
解：(1)∵△ABC和△CDE均为等边三角形，
∴AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠ECD＝60°.
∴∠ACD＝∠ECB.
∴△ACD≌△BCE(SAS).
∴AD＝BE；
(2)∵△ACD≌△BCE，∴∠CAG＝∠CBH.
∵∠ACB＝∠ECD＝60°，点B，C，D在同一条直线上，
∴∠ACB＝∠ECD＝∠ACG＝60°.
又∵AC＝BC，
∴△BCH≌△ACG(ASA)；
(3)△CGH是等边三角形，理由如下：
∵△ACG≌△BCH，
∴CG＝CH.
又∵∠ACG＝60°，
∴△CGH是等边三角形．
命题角度3　与等边三角形有关的探索规律型问题
先通过推导或计算得到第一次图形变化后的结果，然后继续探究2～3个图形变化的结论，从中发现规律．
【例5】如图，已知∠MON＝30°，点A1，A2，A3……在射线ON上，点B1，B2，B3……在射线OM上．△A1B1A2，△A2B2A3，△A3B3A4……均为等边三角形，若OA1＝3，则△A6B6A7的边长为(D)
A．24 B．48 C．64 D．96
【例6】如图，直线a∥b，△ABC是等边三角形，点A在直线a上，边BC在直线b上，把△ABC沿BC方向平移BC长度一半的距离得到△A′B′C′(如图①)；继续以上的平移得到图②，再继续以上的平移得到图③，…；请问在第100个图形中等边三角形的个数是__400__．
　　
高效课堂　教学设计
1．知道等边三角形是特殊的等腰三角形，等边三角形是轴对称图形．
2．能叙述、推证等边三角形的性质和判定方法．
▲重点
等边三角形的性质与判定．
▲难点
等边三角形的性质和判定的区别，等边三角形判定的应用．
◆活动1　新课导入
提问：同学们知道等边三角形是特殊的等腰三角形，那么一个等腰三角形满足什么条件时，能使它成为等边三角形？把你的想法与同学们交流一下．
◆活动2　探究新知
1．如图，在△ABC中，AB＝AC＝BC.
提出问题：
(1)你能证明∠A＝∠B＝∠C＝60°吗？
(2)如何证明？这样证明的依据是什么？
(3)等边三角形是轴对称图形吗？它有几条对称轴，对称轴是什么？
(4)你能归纳出等边三角形具有哪些性质吗？
学生完成并交流展示．
2．已知△ABC.
提出问题：
(1)若∠A＝∠B＝∠C，则△ABC是等边三角形吗？
(2)若AB＝AC，且∠B＝60°，则△ABC是等边三角形吗？
(3)若AB＝AC，且∠A＝60°，则△ABC是等边三角形吗？
(4)你能归纳出哪几种判定等边三角形的方法？
学生完成并交流展示．
◆活动3　知识归纳
1．三条边__都相等__的三角形叫做等边三角形．
2．等边三角形的性质：
(1)等边三角形具有等腰三角形的性质；
(2)等边三角形的三个内角都等于__60°__；
(3)等边三角形是轴对称图形，它有__3__条对称轴．
3．等边三角形的判定：
(1)三个角__都相等__的三角形是等边三角形；
(2)有一个角是__60°__的__等腰__三角形是等边三角形．
◆活动4　例题与练习
例1　教材P80　例4.
例2　如图，△ABC和△BDE均为等边三角形，点E在线段AD上．求证：BD＋CD＝AD.
证明：∵△ABC和△BDE均为等腰三角形，∴AB＝BC，BE＝BD＝ED，∠ABC＝∠EBD.∴∠ABC－∠EBC＝∠EBD－∠EBC，即∠ABE＝∠CBD，∴△ABE≌△CBD(SAS)，∴AE＝CD.又∵BD＝ED，∴AD＝AE＋ED＝CD＋BD，即BD＋CD＝AD.
例3　如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，E是AC延长线上一点，且CE＝CD，AD＝DE.
(1)求证：△ABC是等边三角形；
(2)如果把AD改为△ABC的中线或高(其他条件不变)，请判断(1)中结论是否依然成立？(不要求证明)
解：(1)∵CE＝CD，∴∠E＝∠CDE，∴∠ACB＝∠E＋∠CDE＝2∠E.又∵AD＝DE，∴∠E＝∠DAC.∵AD是△ABC的角平分线，∴∠BAC＝2∠DAC＝2∠E，∴∠ACB＝∠BAC，∴BA＝BC.又∵AB＝AC，∴AB＝BC＝AC，∴△ABC是等边三角形；
(2)当AD为△ABC的中线或高时，结论依然成立．
练习
1．教材P80　练习第1，2题．
2．下列三角形：①有两个角等于60°；②有一个角等于60°的等腰三角形；③三个外角(每个顶点处各取一个外角)都相等的三角形；④一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形．其中是等边三角形的有(D)
　A．①②③ B．①②④ C．①③ D．①②③④
3．如图，在等边三角形ABC中，AD⊥BC，垂足为D，点E在线段AD上，∠EBC＝45°，则∠ACE的度数为(A)
　A．15° B．30° C．45° D．60°
　　　　　
4．如图，在等边三角形ABC中，点D是边BC的中点，则∠BAD＝__30°__．
5．如图，△ABC是等边三角形，D是边AB上一点，以CD为边作等边三角形CDE，使点E，A在直线DC的同侧，连接AE.求证：AE∥BC.
证明：∵△ABC和△EDC都是等边三角形，
∴∠BCA＝∠DCE＝60°，
∴∠BCA－∠ACD＝∠DCE－∠ACD，
即∠BCD＝∠ACE.
在△DBC和△EAC中，BC＝AC，∠BCD＝∠ACE，DC＝EC，
∴△DBC≌△EAC(SAS)，
∴∠DBC＝∠EAC.
又∵∠DBC＝∠ACB＝60°，
∴∠ACB＝∠EAC，
∴AE∥BC.
◆活动5　课堂小结
1．等边三角形的性质．
2．等边三角形的判定．
1．作业布置
(1)教材P83　习题13.3第12，14题；
(2)对应课时练习．
2．教学反思

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