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第2课时　含30°角的直角三角形的性质
●情景导入　如图，一艘轮船从A处出发，以每小时10 n mile(海里)的速度向正北方向航行，从A处测得一礁石C在北偏西30°的方向上．如果这艘船上午8：00从A处出发，10：00到达B处，从B处测得礁石C在北偏西60°的方向上．
(1)画出礁石C的大致位置；
(2)轮船继续航行多久，测得礁石C在正西方向？
【教学与建议】教学：通过实际问题情境引入本节课的课题，激发学生的学习兴趣．建议：教师注意引导学生观察、思考、描述、证明．
●归纳导入　用你的含30°角的直角三角尺，量一量同桌的含30°角的直角三角尺的斜边和30°角所对的直角边，你有什么发现？
如果用两个全等的含30°角的直角三角尺，把相等的边拼在一起组成平面图形，有几种拼法呢？
在这些图形中，轴对称图形有__3__个，其中三角形有__2__个，各是怎样的三角形？请说明理由.
如图，在拼出的等边三角形ABD中，AB__＝__BD(填“>”“<”或“＝”)；在Rt△ABC中，__∠BAC__＝30°，30°所对的直角边是__BC__，BC＝____AB.
你能证明你所发现的结论吗？
【教学与建议】教学：通过学生经历拼摆三角形和度量三角尺的活动，归纳结论．建议：注意引导学生意识到通过实际操作探索出来的结论还需要给予证明．
命题角度1　利用含30°角的直角三角形的性质求有关线段的长
(1)当图形中含有30°角时，通过作垂线构造含有30°角的直角三角形．
(2)在有些题目中，若给出的角是15°角，将15°的角转化为30°的角后，再利用这个性质解决问题．
【例1】等腰三角形的底角是15°，腰长为10，则腰上的高为__5__．
【例2】如图，已知△ABC中，AB＝AC，∠C＝30°，AB⊥AD，AD＝2 cm，则BC＝__6__cm__．
命题角度2　等边三角形、直角三角形的性质的综合运用
在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．该性质的证明借助于等边三角形，所以它与等边三角形的联系密切．
【例3】如图，在等边三角形ABC中，BD平分∠ABC交AC于点D，过点D作DE⊥BC于点E，且AB＝8，则EC的长为 (C)
A．3 B．6 C．2 D．4
　　　　　　　　
【例4】如图，D为等边三角形ABC的边AB上一点，且DE⊥BC，EF⊥AC，FD⊥AB，垂足分别为E，F，D.若AB＝9，则BE＝__3__.
【例5】如图，在等边三角形ABC中，D，E分别在边BC，AC上，且DE∥AB，过点E作EF⊥DE交BC的延长线于点F.若CD＝2，求DF的长．
解：在等边三角形ABC中，∠ACB＝∠B＝∠A＝60°，
∵DE∥AB，∴∠EDC＝∠B＝60°，∠CED＝∠A＝60°，
∴△EDC是等边三角形，∴CD＝CE＝2，∵EF⊥DE，∴∠DEF＝90°，
∴∠CEF＝30°，∴∠F＝60°－30°＝30°＝∠CEF，
∴CE＝CF＝2，∴DF＝CD＋CF＝4.
高效课堂　教学设计
1．理解并掌握有一个角为30°的直角三角形的性质．
2．有一个角为30°的直角三角形的性质的简单应用．
▲重点
含30°角的直角三角形的性质的发现与应用．
▲难点
1．含30°角的直角三角形性质的探索与证明．
2．引导学生全面、周到地思考问题．
◆活动1　新课导入
问题：
(1)我们学习过直角三角形，直角三角形的角之间都有什么数量关系？今天，我们先来看一下特殊的直角三角形，看它的边具有什么性质．
(2)用你的含30°角的直角三角尺，把斜边和30°角所对的直角边量一量，你有什么发现？
◆活动2　探究新知
教材P80　探究．
提出问题：
(1)判断△ABD的形状，依据是什么？
(2)线段BC与CD有什么关系？为什么？
(3)线段BC与AB有什么关系？为什么？
(4)由此你能得出什么结论？
(5)你能用其他方法证明这个结论吗？
学生完成并交流展示．
◆活动3　知识归纳
在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的__一半__．
◆活动4　例题与练习
例1　教材P81　例5.
例2　如图，∠ACB＝90°，CD是高，∠A＝30°.求证：BD＝AB.
证明：在Rt△ABC中，∵∠A＝30°，∴BC＝AB.在Rt△BCD中，∵∠B＝90°－∠A＝90°－30°＝60°，∴∠BCD＝30°，∴BD＝BC，∴BD＝AB.
例3　如图，在等边三角形ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，DE∥AB，过点E作EF⊥DE，交BC的延长线于点F.
(1)求∠F的度数；
(2)若CD＝2，求DF的长．
解：(1)∵△ABC是等边三角形，∴∠B＝60°.∵DE∥AB，∴∠EDC＝∠B＝60°.∵EF⊥DE，∴∠DEF＝90°，∴∠F＝90°－∠EDC＝90°－60°＝30°；
(2)∵∠ACB＝60°，∠EDC＝60°，∴△EDC是等边三角形，∴ED＝CD＝2.∵∠DEF＝90°，∠F＝30°，∴DF＝2DE＝4.
练习
1．教材P81　练习．
2．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，∠B＝30°，点P是边BC上的动点，则AP的长不可能是(D)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A．3.5 B．4.2 C．5.8 D．7
　　　　　
3．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，D是BC的中点，DE⊥AC，则AE∶EC＝__1∶3__．
4．如图，在△ABC中，BD是AC边上的中线，∠ABD＝30°，∠CBD＝90°.求证：AB＝2BC.
证明：延长BD至点E，使DE＝BD，连接AE.∵BD是AC边上的中线，∴AD＝CD.又∵∠ADE＝∠CDB，∴△ADE≌△CDB(SAS)，∴∠AED＝∠CBD＝90°，AE＝BC.∵在Rt△ABE中，∠ABD＝30°，∴AB＝2AE＝2BC.
◆活动5　课堂小结
含30°角的直角三角形的性质及运用．
1．作业布置
(1)教材P83　习题13.3第15题；
(2)对应课时练习．
2．教学反思

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