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第十四章　整式的乘法与因式分解
14．1　整式的乘法
14．1.1　同底数幂的乘法
●复习导入　复习旧知识、引入新课题：
由学生独立完成下列题目，教师引导学生复习乘方的相关知识．
(1)n个相同因数的积的运算叫做__乘方__，乘方的结果叫做__幂__，则a·a·a·…·a,\s\do4(n个a))写成乘方的形式为__an__，其中a叫__底数__，n叫__指数__，an读作__a的n次幂__.
(2)a3表示__3__个__a__相乘，把a3写成乘法的形式为：a3＝__a·a·a__.
(3)a3，a4，a，a2，它们的指数相同吗？它们的底数相同吗？
(4)式子102×103的意义是什么？这个积中的两个因式有何特点？
(5)怎样计算102×103？谈谈你的想法．
(6)怎样计算a2·a3？谈谈你的想法．
(7)通过以上例子你有何发现？你能用字母来表示吗？谈谈你的想法．
【教学与建议】教学：通过乘方概念的形成过程推导出同底数幂的乘法性质．建议：分小组讨论后完成解答，在教学时教师要充分利用实例．
●归纳导入　填空：(学生完成)
(1)52×53＝(__5×5__)×(__5×5×5__)＝__5×5×5×5×5__＝__55__；
(2)102×103＝__(10×10)×(10×10×10)__＝__10×10×10×10×10__＝ __105__；
(3)a3·a2＝__(a·a·a)·(a·a)__＝__a·a·a·a·a__＝__a5__.
猜想：
(1)a4·a5＝__·__＝____＝__a9__；
(2)10m×10n＝×＝____＝__10m＋n__；
(3)am·an＝__am＋n__(m，n都是正整数).
我们可以这样想：
am·an＝__·__＝____＝__am＋n__.
【归纳】同底数幂相乘，底数__不变__，指数__相加__．
【教学与建议】教学：教学时教师运用归纳、类比思想进行讲解．建议：教师提出问题让学生大胆探索，以此引起学生的求知欲并引导学生归纳总结．
命题角度1　直接利用同底数幂的乘法法则进行计算
熟练运用am·an＝am＋n计算．
【例1】计算3x3·x2的结果是(B)
A．3x B．3x5 C．3x6 D．x5
【例2】计算(－x2)·(－x)4的结果是__－x6__．
命题角度2　同底数幂的乘法法则的逆运算
当一个幂的指数中含有加法运算时，可逆用am＋n＝am·an.
【例3】设am＝4，an＝6，则am＋n等于(D)
A．4 B．6 C．10 D．24
【例4】若3a＝2，3b＝5，则3a＋b＋1的值为(A)
A．30 B．10 C．6 D．38
【例5】已知am＝3，am＋n＝9，则an＝__3__．
幂的含义及其历史
在我国古代，“幂”字的早期含义是泛指方形的东西，到了三国时代，刘徽给《九章算术》作注时第一次在数学中使用幂表示乘积，到明朝徐光启翻译《几何原本》时，用“自乘之数曰幂”来解释幂，明确地给幂下了定义．
在西方，作为数学术语的幂，在英语里是power，原意是权力、威力或能力，后来引申为数学术语，1591年法国数学家韦达的代数名著《分析方法入门》中已有现代意义的幂的概念了．
20世纪初，五四运动前后，我国数学逐渐学习西方，译名很不统一.1935年，当时的教育部公布《数学名词》，确定将“involution”译为乘方，“power”译为幂或乘幂.1956年中国科学院编订《数学名词》，重新明确“involution”为乘方，而“power”确定为幂或乘方，为了与“involution”相区别，通常认为“power”(幂)作为乘方的结果，而不是乘方．
高效课堂　教学设计
1．会运用法则，熟练进行同底数幂的乘法运算．
2．经过知识点的专题训练，培养学生逆向思维能力．
▲重点
运用同底数幂的乘法法则进行计算．
▲难点
逆用同底数幂的乘法法则．
◆活动1　新课导入
(1)复习乘方的意义，师生共同回忆．
an表示n个a相乘，这种运算叫乘方，其结果叫做幂，a叫做底数，n是指数，即an＝(a·a·a…a),\s\do4(n个a)).
(2)提出问题，要求学生根据乘方的意义求得结果．
一种电子计算机每秒进行1千万亿(1015)次运算，它工作103 s可进行多少次运算？
◆活动2　探究新知
1．教材P95　问题1.
提出问题：
(1)电子计算机工作103 s可以进行多少次运算？能用学过的知识来解决这个问题吗？
(2)式子1015×103表示的意义是什么？
(3)你会计算1015×103吗？怎样计算？
学生完成并交流展示．
2．教材P95　探究．
提出问题：
(1)探究中的式子与1015×103有何共同点？
(2)根据乘方的意义计算探究中的算式，观察计算结果，你能找出计算前后底数和指数的变化规律吗？
(3)你能用简洁的语言总结你发现的规律吗？
学生完成并交流展示．
3．已知3m＝5，3n＝4，求3m＋n的值．
提出问题：
上面已经学习了同底数幂的乘法运算法则，你能否根据同底数幂的乘法运算法则将3m＋n转化成3m·3n，再对其进行计算？
学生完成并交流展示．
◆活动3　知识归纳
1．同底数幂乘法运算法则：同底数幂相乘，底数__不变__，指数__相加__，即am·an＝__am＋n__(m，n都是正整数)．
2．同底数幂乘法运算法则的逆用：am＋n＝__am·an__(m，n都是正整数)．
◆活动4　例题与练习
例1　教材P96　例1.
例2　计算：
(1)a2·a5·a7；(2)102×103×105；(3)(b＋1)2·(b＋1)3；(4)xm·x2n＋1·xn.
解：(1)原式＝a14；
(2)原式＝1010；
(3)原式＝(b＋1)5
(4)原式＝xm＋3n＋1.
例3　计算：
(1)(－a6)·(－a)3·(－a2)·(－a)4；
(2)(p－q)2·(q－p)3·(p－q)4；
(3)1 000×100×10m.
解：(1)原式＝－a15；
(2)原式＝(q－p)9；
(3)原式＝105＋m.
例4　已知am＝2，an＝3，求am＋n＋2的值．
解：am＋n＋2＝am·an·a2＝2×3×a2＝6a2.
练习
1．教材P96　练习．
2．化简(－x)3·(－x)2，结果正确的是(D)
　A．－x6 B．x6 C．x5 D．－x5
3．下列算式中，结果等于a6的是(D)
　A．a4＋a2 B．a2＋a2＋a2 C．a2·a3 D．a2·a2·a2
4．计算：
(1)a·a9；(2)x3n·x2n＋2；
(3)×；(4)(x－y)3·(x－y)2.
解：(1)原式＝a10；
(2)原式＝x5n＋2；
(3)原式＝－；
(4)原式＝(x－y)5.
5．已知4x＝8，4y＝32，求x＋y的值．
解：4x·4y＝4x＋y＝8×32＝256＝44，∴x＋y＝4.
◆活动5　课堂小结
1．同底数幂的乘法运算法则．
2．同底数幂的乘法运算法则的逆用：am＋n＝am·an(m，n都是正整数)．
1．作业布置
(1)教材P104　习题14.1第1题(1)(2)；
(2)对应课时练习．
2．教学反思

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