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14.1.4　整式的乘法
第1课时　单项式与单(多)项式相乘
●归纳导入　一位画家设计了一幅长为5 000 m，名为“奥运龙”的宣传画．受他的启发，京京用两张同样大小的纸，精心制作了两幅画．如图所示，第一幅画的画面大小与纸的大小相同，第二幅画的画面与纸的上、下方各留有x m的空白．
　　
(1)第一幅画的画面面积是多少？
(2)第二幅画的画面面积是多少？
A生：第一幅画的画面面积是[x·(mx)]m2，第二幅画的画面面积是[(mx)·x]m2.
B生：第一幅画的画面面积是mx2 m2，第二幅画的画面面积是mx2 m2.
根据上述问题的讨论，回答下列问题：
问题1：他们的结果是否正确？若不正确，请判断谁对或给出你的答案；若都正确，它们之间又有什么关系？B生的答案又是怎样得来的？
问题2：单项式乘单项式时，结果的系数是怎样得到的？相同的字母怎么办？仅在一个单项式里出现的字母怎么办？
问题3：类似地，你能用你的发现分别将2a2b·3ab3c和(xyz2)·(5y2z3)表示得更简单吗？
(3)如何进行单项式与单项式相乘的运算？你能用自己的语言描述总结出单项式与单项式相乘的运算法则吗？
【归纳】单项式与单项式相乘，把它们的__系数__、__同底数幂__分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的__指数__作为积的一个因式．
【教学与建议】教学：从实际问题导入，让学生动手试一试，主动探索，归纳计算法则．建议：关注：(1)学生能否自己主动参与探索过程；(2)学生能否自行分析每一步的依据；(3)学生在交流中所投入的情感和态度．
●情景导入　探索火星、月球以及其他星球的奥秘已逐渐被世人关注，飞向月球、进入太空也不再是遥远的事，浩瀚的宇宙期待着人们的光临．
(1)天文学上计算星球之间的距离的一种单位叫“光年”，即光在一年里通过的距离.1年约等于3×107 s，光的速度约为3×105 km/s，则1光年大约是多少千米？
(2)光的速度约为3×105 km/s，从太阳系以外的一颗恒星发出的光需要1.2×108 s到达地球，求这颗恒星与地球的距离．学生列式，教师提出问题：那么如何计算(3×107)×(3×105)和(3×105)×(1.2×108)呢？学完这节课，你一定会迎刃而解的．(揭示课题)
【教学与建议】教学：利用实际问题情景导入新课，激发学生的积极性．建议：学生分组合作探究，每个小组完成后，给出答案并进行展示．
命题角度1　直接利用单项式乘法的运算法则运算
可先利用乘法交换律、结合律变形成数与数相乘，同底数幂与同底数幂相乘的形式，单独一个字母照抄．
【例1】计算：
(1)(3x2y2)·(－xy)；(2)(－2a2b3)·(－4a2).
解：(1)原式＝－x3y3；(2)原式＝8a4b3.
命题角度2　单项式乘法与幂的混合运算
在混合运算中要先算乘方，再算乘除，最后算加减．
【例2】计算(－a)3(ab2)2的结果是(C)
A．a5b4 B．a4b4 C．－a5b4 D．－a4b4
【例3】计算：x2y3·2x2y4＋(－3xy2)2·xy.
解：原式＝x4y7＋9x3y5.
命题角度3　直接利用单项式乘多项式的法则运算
运用法则运算要注意两点：(1)单项式与多项式相乘时，注意不要漏乘多项式中的常数项；(2)相乘时，注意准确确定符号．
【例4】化简：a(a－2)＋4a等于(A)
A．a2＋2a B．a2＋6a
C．a2－6a D．a2＋4a－2
【例5】计算：(1)3a2(a3b2－2a)－4a(－a2b)2；
解：原式＝3a5b2－6a3－4a·a4b2
＝3a5b2－6a3－4a5b2
＝－a5b2－6a3；
(2)x(x－1)＋2x(x＋1)－3x(2x－5).
解：原式＝x2－x＋2x2＋2x－6x2＋15x
＝－3x2＋16x.
命题角度4　单项式乘多项式化简求值问题
按照单项式乘多项式的法则先化简后，再代入求值．符号的确定是解题的关键．
【例6】(1)当x＝1，y＝时，求3x(2x＋y)－2x(x－y)的值．
解：原式＝6x2＋3xy－2x2＋2xy＝4x2＋5xy.当x＝1，y＝时，原式＝5.
(2)已知代数式7a(a－kb)－3(b2－14ab－1)经化简后不含ab项，求k的值.
解：原式＝7a2－7abk－3b2＋42ab＋3
＝7a2－3b2＋(42－7k)ab＋3.
∵化简后不含ab项，∴42－7k＝0，解得k＝6.
命题角度5　单项式与多项式在实际生活中的运用
根据题意用含字母的式子表示出计算公式，再化简或求值．
【例7】一块长方形草坪的长是3xa＋1 m，宽是2xb－1 m(a，b为大于1的正整数)，则长方形草坪的面积是(B)
A．6xa－b m2 B．6xa＋b m2
C．6xa＋b－1 m2 D．6xa＋b－2 m2
【例8】一个拦水坝的横断面是梯形，其上底长是(3a2－2b)m，下底长是(3a＋4b)m，高是2a2b m，要建造长为3ab m的水坝，需要多少土石？
解：(3a2－2b＋3a＋4b)·2a2b·3ab＝(9a5b2＋9a4b2＋6a3b3)m3.
答：需要(9a5b2＋9a4b2＋6a3b3)m3土石．
高效课堂　教学设计
1．通过观察、计算，理解单项式乘以单项式，单项式乘以多项式法则的生成过程．
2．掌握单项式乘以单项式，单项式乘以多项式的法则，并能熟练运用法则进行计算．
▲重点
运用单项式乘以单(多)项式的法则进行计算．
▲难点
法则的灵活运用．
◆活动1　新课导入
1．(1)同底数幂相乘，底数__不变__，指数__相加__，即am·an＝a(m＋n)(m，n都是正整数)；
(2)幂的乘方，底数__不变__，指数__相乘__，即(am)n＝__amn__(m，n都是正整数)；
(3)积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，即(ab)n＝__anbn__(n为正整数)．
2．直接写出结果：
(1)计算：(0.04)2 019×(52 020)2＝__25__；
(2)计算：(－3x3y2z)3＝__－27x9y6z3__；＝__a4b8c12__；
(3)若(xy)n＝6，则x2ny2n＝__36__；
(4)若(2x)3＝64，则x＝__2__；
(5)若x2n＝4，则(3x3n)2＝__576__．
◆活动2　探究新知
1．教材P98　问题2和思考．
提出问题：
(1)怎样计算(3×105)×(5×102)？此题能否用学过的乘法的运算律以及幂的运算法则求解？
(2)在求解过程中用到哪些运算律和运算性质？
(3)如果将上面的数字换成字母？又将怎样计算呢？
(4)通过上面的计算，你能得出什么结论？
学生完成并交流展示．
2．教材P94　引言．
提出问题：
(1)要求扩大后的绿地面积，有多少种方法？能否根据已知条件先求出扩大后的绿地的边长，再根据公式求面积？
(2)除此之外还有其他方法求面积吗？能不能分开求，先求出原来绿地的面积，再求出新增的面积，最后二者相加？
(3)根据两种方法求同一问题，即有p(a＋b＋c)＝pa＋pb＋pc，根据这个式子你有什么发现？
◆活动3　知识归纳
1．一般地，单项式与单项式相乘，把它们的__系数__、__同底数幂__分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个__因式__，多个单项式相乘依然如此．
2．单项式与单项式相乘的结果仍然是__单项式__．
3．一般地，单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的__每一项__，再把所得的积__相加__，即p(a＋b＋c)＝__pa＋pb＋pc__．
4．单项式与多项式相乘，结果仍然是__多项式__．
◆活动4　例题与练习
例1　教材P98　例4.
例2　教材P100　例5.
例3　计算：
(1)(x－3y)·(－6x)；
(2)x(x－1)＋2x(x＋1)－3x(2x－5)；
(3)－2xy(3x2－xy＋4y2)；
解：(1)原式＝－6x2＋18xy；
(2)原式＝x2－x＋2x2＋2x－6x2＋15x＝－3x2＋16x；
(3)原式＝－6x3y＋2x2y2－8xy3.
练习
1．教材P99　练习第1，2题．
2．教材P100　练习第1，2题．
3．计算：
(1)·3xy2·(2xy2)2；
(2)5a3b·(－3b)2＋(－ab)(－6ab)2；
(3)3ab(a2b－ab2－ab)－ab2(2a2－3ab＋2a).
解：(1)原式＝－x6y3·3xy2·4x2y4＝－x9y9；
(2)原式＝5a3b·9b2＋(－ab)·36a2b2＝45a3b3－36a3b3＝9a3b3；
(3)原式＝3a3b2－3a2b3－3a2b2－2a3b2＋3a2b3－2a2b2＝a3b2－5a2b2.
◆活动5　课堂小结
1．单项式乘单项式运算法则．
2．单项式乘多项式运算法则．
1．作业布置
(1)教材P105　习题14.1第3，4，10题；
(2)对应课时练习．
2．教学反思

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