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14.2.2　完全平方公式
第1课时　完全平方公式
●置疑导入　【师】请同学们探究下列问题：
一位老人非常喜欢孩子，每当有孩子到他家做客时，老人都要拿出糖果招待他们．来一个孩子，老人就给这个孩子一块糖，来两个孩子，老人就给每个孩子两块糖，来三个孩子，老人就给每个孩子三块糖……
　
(1)第一天有a个男孩去了老人家，老人一共给了这些孩子多少块糖？
(2)第二天有b个女孩去了老人家，老人一共给了这些孩子多少块糖？
(3)第三天这(a＋b)个孩子一起去看老人，老人一共给了这些孩子多少块糖？
(4)这些孩子第三天得到的糖果总数与前两天他们得到的糖果总数哪个多？多多少？为什么？
【生】(1)第一天老人一共给了这些孩子a2块糖．
(2)第二天老人一共给了这些孩子b2块糖．
(3)第三天老人一共给了这些孩子(a＋b)2块糖．
(4)孩子们第三天得到的糖块总数与前两天他们得到的糖块总数比较，应用减法．即(a＋b)2－(a2＋b2).
【师】我们上一节学了平方差公式，即(a＋b)(a－b)＝a2－b2，现在遇到了两个数的和的平方，该怎样处理呢？
【教学与建议】教学：采用“发糖果事例”让学生领会完全平方公式的内涵．建议：问题(1)(2)(3)回答，问题(4)小组讨论.
●归纳导入　自主探究：计算下列各式，你能发现什么规律？
(1)(x＋1)2＝(x＋1)(x＋1)＝__x2＋2x＋1__；
(2)(x＋2)2＝__(x＋2)(x＋2)__＝__x2＋4x＋4__；
(3)(x－1)2＝(x－1)(x－1)＝__x2－2x＋1__；
(4)(x－2)2＝__(x－2)(x－2)__＝__x2－4x＋4__；
(5)(a＋b)2＝__(a＋b)(a＋b)__＝__a2＋2ab＋b2__；
(6)(a－b)2＝__(a－b)(a－b)__＝__a2－2ab＋b2__.
【归纳】文字叙述：__两个数的和(或差)的平方，等于它们的平方和，加上(或减去)它们的积的2倍__.
符号叙述：__(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2，(a－b)2＝a2－2ab＋b2__.
其实我们还可以从几何角度去解释完全平方公式．
(出示投影)
你能根据图①和②中的面积证明完全平方公式吗？
　　　　
【教学与建议】教学：学生自主探究，利用数形结合的情境领会完全平方公式的内涵．建议：老师要深入到学生中，发现问题，要及时启发引导．
命题角度1　直接运用完全平方公式计算
用完全平方公式(a±b)2＝a2±2ab＋b2直接计算．口诀记忆：首平方，尾平方，2倍之积在中央．
【例1】计算(2x－1)(1－2x)的结果正确的是(C)
A．4x2－1 B．1－4x2
C．－4x2＋4x－1 D．4x2－4x＋1
【例2】计算(2a＋b)2.
解：原式＝4a2＋4ab＋b2.
命题角度2　利用完全平方公式进行数字简便计算
有些数学计算可拆成两数(式)平方差、和(差)的平方的形式，利用完全平方公式简算．
【例3】计算：(1)2012；(2)99.82.
解：(1)2012＝(200＋1)2＝2002＋2×200×1＋12＝40 000＋400＋1＝40 401；
(2)99.82＝(100－0.2)2＝1002－2×100×0.2＋0.22＝10 000－40＋0.04＝9 960.04.
命题角度3　利用乘法公式化简求值
对于整式的化简求值问题，先去括号再合并同类项，最后代入数值计算．
【例4】化简求值：(2x＋y)2＋(x＋2y)2－x(x＋y)－2(x＋2y)(2x＋y)，其中x＝，y＝1.
解：原式＝y2－3xy，当x＝，y＝1时，原式＝0.
命题角度4　利用乘法公式研究图形特征
通过正方形、长方形、三角形、平行四边形等几何图形的剪拼变化，反映完全平方公式或平方差公式．
【例5】如图①，把一个长为2m，宽为2n(m>n)的长方形两次对折后展开，再用剪刀沿图中折痕剪开，把它分成四块完全相同的小长方形，最后按图②那样拼成一个正方形，则中间空的部分的面积是(C)
　　
A．2m B．(m＋n)2 C．(m－n)2 D．m2－n2
【例6】利用图形中面积的等量关系可以得到某些数学公式．例如，根据图甲，我们可以得到两数和的平方公式：(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2.你根据图乙能得到的数学公式是(B)
　　
A．(a＋b)(a－b)＝a2－b2 B．(a－b)2＝a2－2ab＋b2
C．a(a＋b)＝a2＋ab D．a(a－b)＝a2－ab
高效课堂　教学设计
1．利用多项式相乘的法则推导完全平方公式，并掌握公式的结构特征．
2．会运用完全平方公式，并能灵活运用公式进行计算．
▲重点
完全平方公式的结构特征．
▲难点
完全平方公式的运用．
◆活动1　新课导入
1．多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项__乘__另一个多项式的__每一项__，再把所得的__积相加__．
2．试着写出结果：
(1)(x＋1)2＝__x2＋2x＋1__； 　(2)(x－1)2＝__x2－2x＋1__；
(3)(m＋n)2＝__m2＋2mn＋n2__； 　(4)(m－n)2＝__m2－2mn＋n2__．
◆活动2　探究新知
1．教材P109　探究．
提出问题：
(1)观察探究中的算式，找出它们的相同点和不同点；
(2)观察一下，每个式子能否根据幂的意义将其拆成两个多项式相乘的形式？
(3)根据多项式乘多项式的法则，计算出每个式子的结果，观察结果，你能发现什么规律？
(4)用简洁的方式表示你的发现．
学生完成并交流展示．
2．教材P109　思考．
提出问题：
(1)你能用两种方法表示图14.2－2中大正方形的面积吗？
(2)你能用两种方法表示图14.2－3中左下角的小正方形的面积吗？
(3)比较(1)，(2)中的两种结果，你能得出什么结论？
学生完成并交流展示．
3．教材P110　思考．
提出问题：
完成思考中所提出的问题，你能从中得出什么结论？
◆活动3　知识归纳
1．完全平方公式：(a＋b)2＝__a2＋2ab＋b2__，(a－b)2＝__a2－2ab＋b2__．即两个数的和(或差)的平方，等于它们的__平方和__，加上(或减去)它们__积的2倍__．
2．互为__相反数__的两个数的平方相等．
◆活动4　例题与练习
例1　教材P110　例3.
例2　教材P110　例4.
例3　利用完全平方公式计算：
(1)2012；　　　　(2)99.82.
解：(1)2012＝(200＋1)2＝2002＋2×200×1＋12＝40 401；(2)99.82＝(100－0.2)2＝1002－2×100×0.2＋0.22＝9 960.04.
例4　已知a＋b＝3，ab＝1，求(a－b)2的值．
解：(a－b)2＝(a＋b)2－4ab＝9－4×1＝5.
练习
1．教材P110　练习第1，2题．
2．计算(－a－b)2的结果是(C)
A．a2＋b2　　　B．a2－b2　　　C．a2＋2ab＋b2　　　D．a2－2ab＋b2
3．下列各式计算结果是m2n2－mn＋1的是(C)
　A． B．
　C． D．
4．填空．
(1)(2x＋__3y__)2＝__4x2__＋__12xy__＋9y2；
(2)x2＋10x＋__25__＝(x＋__5__)2.
5．先化简，再求值：2a(a＋2b)－(a＋2b)2，其中a＝－1，b＝.
解：原式＝a2－4b2.当a＝－1，b＝时，原式＝－11.
6．已知(x＋y)2＝18，(x－y)2＝6，求x2＋y2和xy的值．
解：由题意，得(x＋y)2＋(x－y)2＝2(x2＋y2)＝24，∴x2＋y2＝12，
∴(x＋y)2－(x2＋y2)＝2xy＝6，∴xy＝3.
◆活动5　课堂小结
1．完全平方公式及其特征．
2．完全平方公式的运用．
1．作业布置
(1)教材P112　习题14.2第2题；
(2)对应课时练习．
2．教学反思

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