资源简介

14.3　因式分解
14．3.1　提公因式法
●类比导入　问题：计算260×3.7＋260×5.6＋260×0.7.
解：原式＝260×(3.7＋5.6＋0.7)
＝260×10
＝2 600.
(1)讨论上题的计算方法，分别提出各自的依据，然后比较哪种方法简便；
(2)类似地，ma＋mb＋mc＝__m(a＋b＋c)__；
(3)引入“因式分解”及“公因式”的概念．
【教学与建议】教学：此例让学生结合因数分解和数的乘法的关系进行类比导入提公因式法．建议：让学生讨论、交流，然后进行归纳、概括．
●归纳导入　因式分解的意义
1．计算：
(1)m(a＋b＋c)＝__ma＋mb＋mc__；
(2)(a＋b)(a－b)＝__a2－b2__；
(3)(a＋b)2＝__a2＋2ab＋b2__.
2．试一试，填空：
(1)ma＋mb＋mc＝m·(__a＋b＋c__);
(2)a2－b2＝(__a＋b__)(__a－b__);
(3)a2＋2ab＋b2＝(__a＋b__)2.
请同学们自己总结1，2两题的特点和联系．
因式分解与整式乘法的关系：
多项式整式×整式×…×整式
这节课将探索提公因式法．
【教学与建议】教学：通过练习归纳，类比得到因式分解及公因式的概念．建议：鼓励学生发表自己的观点并归纳出计算方法．
命题角度1　辨别因式分解与整式乘法
因式分解应是(1)必须是整式；(2)右边必须是乘积形式；(3)必须是恒等式.
【例1】下列从左到右的变形是因式分解并且正确的是(C)
A．2x2－xy－x＝2x(x－y－1)
B．－xy2－2xy＋3y＝－y(xy－2x－3)
C．x(x－y)－y(x－y)＝(x－y)2
D．3x2－3x－3＝3x(x－1)－3
【例2】下列分解因式正确的是(C)
A．－x2＋4x＝－x(x＋4) B．x2＋xy＋x＝x(x＋y)
C．x(x－y)＋y(y－x)＝(x－y)2 D．x2－4x＋4＝(x＋2)(x－2)
命题角度2　利用提公因式法分解因式
提公因式法分解因式的基本步骤：(1)确定应提取的公因式；(2)用公因式去除这个多项式，所得的商作为另一个因式；(3)把多项式写成这两个因式的积的形式．
【例3】多项式8a3b2＋12ab3c的公因式是(B)
A．abc B．4ab2 C．ab2 D．4ab2c
【例4】把下列各式分解因式：
(1)4x2－2x；(2)－8x2y2－4x2y＋2xy.
解：(1)原式＝2x(2x－1)；(2)原式＝－2xy(4xy＋2x－1).
命题角度3　利用因式分解简化运算
在计算求值时，若式子各项含有公因数，提取公因数可使运算更简捷．
【例5】计算：(1)1.992＋1.99×0.01；(2)2 0232－2 023－2 0222.
解：(1)原式＝1.99×(1.99＋0.01)＝1.99×2＝3.98；
(2)原式＝2 023×(2 023－1)－2 0222＝2 023×2 022－2 0222＝2 022×(2 023－2 022)＝2 022.
命题角度4　化简求值
运用因式分解的方法化简计算可使化简求值方便易行．
【例6】求(2x－y)(2x＋3y)－(2y＋x)(2x－y)的值，其中x＝2，y＝1.
解：原式＝(2x－y)(2x＋3y－2y－x)
＝(2x－y)(x＋y)
＝2x2＋xy－y2.
当x＝2，y＝1时，原式＝2×22＋2×1－12＝9.
【例7】将x(x＋y)(x－y)－x(x＋y)2进行因式分解，并求当x＋y＝1，xy＝－时多项式的值．
解：原式＝x(x＋y)(x－y－x－y)
＝－2xy(x＋y)
＝－2×(－)×1
＝1.
高效课堂　教学设计
1．了解因式分解与公因式的概念．
2．理解因式分解与整式乘法之间的区别与联系，培养学生的逆向思维能力．
3．理解提公因式法并会熟练地运用提公因式法分解因式．
▲重点
会用提公因式法分解因式．
▲难点
如何确定公因式以及提出公因式后的另外一个因式．
◆活动1　新课导入
计算：
(1)a(b＋c)＝__ab＋ac__；
(2)(2x＋3)(3－2x)＝__9－4x2__；
(3)(x＋4)2＝__x2＋8x＋16__；
(4)(x＋3)(3x－5)＝__3x2＋4x－15__．
◆活动2　探究新知
1．教材P114　探究．
提出问题：
(1)你能将探究中的多项式写成整式乘积的形式吗？
(2)上述变形与整式乘法之间有什么关系？
(3)你能类似于分解质因数一样将上面的变形命名吗？
学生完成并交流展示．
2．把下列各式因式分解：
(1)pa＋pb＋pc；(2)2a(y－z)＋3b(y－z)；(3)4x2－10xy.
提出问题：
(1)观察上面的式子有什么共同点？
(2)你能用乘法分配律将上面的多项式分解因式吗？
学生完成并交流展示．
◆活动3　知识归纳
1．把一个多项式化成几个__整式的积__的形式叫做把这个多项式因式分解.
2．因式分解与__整式乘法__互为逆变形．
3．多项式各项公共的因式叫做这个多项式的__公因式__．
4．把多项式中__公因式__提出来，从而达到因式分解的目的，这种分解因式的方法叫做提公因式法．
◆活动4　例题与练习
例1　教材P115　例1.
例2　教材P115　例2.
提出问题：
如何验证因式分解是否正确？
例3　用简便方法计算：
(1)×15－×15－×15;
解：原式＝×15
＝－15;
(2)2 019＋2 0192－2 0202.
解：原式＝2 019×(1＋2 019)－2 0202
＝－2 020.
例4　将x(x＋y)(x－y)－x(x＋y)2进行因式分解，并求当x＋y＝1，xy＝－时，此式的值．
解：x(x＋y)(x－y)－x(x＋y)2＝x(x＋y)[(x－y)－(x＋y)]＝－2xy(x＋y).当x＋y＝1，xy＝－时，原式＝－2××1＝1.
练习
1．教材P115　练习第1，2，3题．
2．把x2＋3x＋c分解因式得x2＋3x＋c＝(x＋1)(x＋2)，则c为(A)
　A．2 B．3 C．－2 D．－3
3．下列各组代数式中没有公因式的是(C)
　A．5m(a－b)与b－a B．(a＋b)2与－a－b
　C．mx＋y与x＋y D．－a2＋ab与a2b＋ab2
4．下列各式的因式分解正确的是(D)
　A．－a2＋ab－ac＝－a(a＋b－c) B．9xyz－6x2y2＝3xyz(3－2xy)
　C．3a2x－6bx＋3x＝3x(a2－2b) D．2x2y＋2xy2＝2xy(x＋y)
5．若ab＝7，a－2b＝5，则a2b－2ab2的值是__35__．
6．已知a，b，c为△ABC的三边，且a2－ab＋4ac－4bc＝0，试判断△ABC的形状．
解：∵a(a－b)＋4c(a－b)＝0，∴(a－b)(a＋4c)＝0.
又∵a，b，c为△ABC的三边，∴a＋4c≠0，∴a－b＝0，∴a＝b，即△ABC为等腰三角形．
◆活动5　课堂小结
1．因式分解的概念．
2．提公因式法分解因式及其运用．
1．作业布置
(1)教材P119　习题14.3第1题；
(2)对应课时练习．
2．教学反思

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