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14.3.2　公式法
第1课时　运用平方差公式分解因式
●类比导入　同学们，你能很快知道992－1是否是100的倍数吗？你是怎么想的？
992－1＝(99＋1)(99－1)，这种方法利用了我们刚学过的哪一个乘法公式？
首先我们来做下面两题：
1．计算下列各式：
(1)(a＋3)(a－3)＝__a2－9__；
(2)(a＋b)(a－b)＝__a2－b2__；
(3)(2a＋3b)(2a－3b)＝__4a2－9b2__.
2．下面请你根据上面的算式填空：
(1)a2－9＝__(a＋3)(a－3)__；
(2)a2－b2＝__(a＋b)(a－b)__；
(3)4a2－9b2＝__(2a＋3b)(2a－3b)__．
请同学们对比以上两题，你发现了什么？
事实上，像上面第2题那样的因式分解是利用平方差公式进行的，这种利用乘法公式进行因式分解的方法称为公式法．
【教学与建议】教学：通过利用平方差公式进行乘法计算类比用平方差公式进行因式分解．建议：对于开始提出的问题，如果学生还有其他不同的解决方法，教师要给予充分的肯定．
●复习导入　1.请大家回顾一下，上节课我们学习了什么内容？(__提公因式法__进行因式分解)
2．那么什么叫因式分解呢？它和整式的乘法有什么关系？(把一个多项式化为几个整式的乘积的形式，叫做__因式分解__)
3．什么叫提公因式法？(学生回答：把多项式里的__公因式__提取出来，将多项式写成公因式与另一个因式的__乘积__的形式，这种分解因式的方法叫做__提公因式法__)
4．你能将下列各式进行因式分解吗？
(1)5x3－5x；(2)－2ma3＋6m2a2－4m3a2；
(3)a2(b＋c)－9(b＋c)；(4)3x2(x－y)2－12(y－x)2.
请四位同学分别作答．
观察上面的结果中的多项式，你会有怎样的发现呢？
【教学与建议】教学：发现结果中的多项式分解一定要彻底，如a2－9＝(a＋3)(a－3).建议：①分解一定要彻底；②利用平方差公式进行因式分解的方法称为公式法．
命题角度1　利用平方差公式分解因式
运用平方差公式分解因式要注意：(1)多项式为二项式，且其中一项为(或可化为)a2的形式，另一项为(或可化为)－b2的形式；(2)这里的a，b可以是数，也可以是整式．
【例1】多项式16a－a3分解因式的结果是(B)
A．a(4－a2) B．a(4－a)(4＋a)
C．a(a－4)(a＋4) D．a(4－a)2
【例2】因式分解：a2(a－b)－9(a－b)＝__(a－b)(a－3)(a＋3)__.
【例3】因式分解：x2(x－y)2－4(y－x)2＝__(x－y)2(x＋2)(x－2)____．
命题角度2　平方差公式分解因式的应用
运用平方差公式分解因式后有时可以将小数转化为整数，使计算简便．
【例4】计算：1252－252等于(D)
A．750 B．1 500 C．10 000 D．15 000
【例5】如图，已知R＝6.75，r＝3.25，则图中阴影部分的面积为__35π__．
高效课堂　教学设计
1．理解整式乘法与分解因式的互逆变形关系，并会用平方差公式进行因式分解．
2．通过自己的实践活动去领悟、分析，总结技能、技巧，树立学习的自信心．
▲重点
运用平方差公式进行因式分解．
▲难点
熟练运用平方差公式进行因式分解．
◆活动1　新课导入
1．乘法的平方差公式：(a＋b)(a－b)＝__a2－b2__．
2．计算：(1)(x＋2)(x－2)＝__x2－4__；
(2)(2m＋3n)(2m－3n)＝__4m2－9n2__；
(3)[(x＋y)＋(x－y)][(x＋y)－(x－y)]＝__4xy__．
◆活动2　探究新知
1．教材P116　思考．
提出问题：
(1)整式乘法的平方差公式是什么？
(2)多项式a2－b2有什么特点？你能将它分解因式吗？
学生完成并交流展示．
2．教材P116　例4.
提出问题：
(1)x2＋y2还能继续分解因式吗？x2－y2呢？
(2)由x4－y4分解因式的结果，你从中得到什么启发？
(3)a3b－ab能直接用平方差公式分解因式吗？由此题你得到了什么启发？
学生完成并交流展示．
◆活动3　知识归纳
1．平方差公式：a2－b2＝__(a＋b)(a－b)__．即两个数的平方差，等于__这两个数的和与这两个数的差的积__.
2．分解因式，必须进行到每一个多项式因式都__不能再分解__为止．
3．因式分解的一般步骤是：若有公因式，应先提取__公因式__，然后再运用公式分解因式．
◆活动4　例题与练习
例1　教材P116　例3.
例2　分解因式：
(1)x2y－4y；
解：原式＝y(x2－4)＝y(x＋2)(x－2)；
(2)(a＋1)2－1；
解：原式＝(a＋1＋1)(a＋1－1)＝a(a＋2)；
(3)x4－1；
解：原式＝(x2＋1)(x2－1)＝(x2＋1)(x＋1)(x－1)；
(4)－2(x－y)2＋32；
解：原式＝－2[(x－y)2－16]＝－2(x－y＋4)(x－y－4)；
(5)(x＋y＋z)2－(x－y＋z)2.
解：原式＝[(x＋y＋z)＋(x－y＋z)][(x＋y＋z)－(x－y＋z)]
＝(x＋y＋z＋x－y＋z)(x＋y＋z－x＋y－z)
＝2y(2x＋2z)
＝4y(x＋z).
例3　求证：当n是正整数时，两个连续奇数的平方差一定是8的倍数．
证明：依题意，得(2n＋1)2－(2n－1)2＝(2n＋1＋2n－1)(2n＋1－2n＋1)＝8n.∵8n是8的n倍，∴当n是正整数时，两个连续奇数的平方差一定是8的倍数.
练习
1．教材P117　练习第1，2题．
2．因式分解：
(1)－1＋0.09x2；
解：原式＝(0.3x＋1)(0.3x－1)；
(2)x2(x－y)＋y2(y－x)；
解：原式＝(x＋y)(x－y)2；
(3)a5－a；
解：原式＝a(a2＋1)(a＋1)(a－1)；
(4)(a＋2b)2－4(a－b)2.
解：原式＝3a(4b－a).
3．已知x－y＝2，x2－y2＝6，求x，y的值．
解：∵x2－y2＝(x＋y)(x－y)＝6，x－y＝2，
∴x＋y＝3.
联立解得
◆活动5　课堂小结
1．平方差公式及其特征．
2．运用平方差公式分解因式．
1．作业布置
(1)教材P119　习题14.3第2题；
(2)对应课时练习．
2．教学反思

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