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第十五章　分式
15．1　分式
15．1.1　从分数到分式
●归纳导入　丝茅草叶片细长且两边有许多小细齿，能轻易地把人的手指划破，非常锋利．如果将铁片的边缘也刻上许多小细齿，它会更加锋利，可以更快地伐倒大树．
　　
鲁班就是这样根据类比的道理发明锯子的．在数学中，应用类比推理的地方有很多．今天我们就通过类比分数来学习分式．那么什么是分式呢？通过以下的学习我们就明白了．
思考下列问题并填空：
1．(1)若长方形的面积为20 cm2，长为9 cm，则宽应为____cm；若长方形的面积为50 cm2，长为a cm，则宽应为____cm；
(2)把体积为300 cm3的水倒入底面积为47 cm2的圆柱形容器中，水面高度为____cm；把体积为300 cm3的水倒入底面积为S cm2的圆柱形容器中，水面高度为____cm.
2．请你认真观察，说说第1题(1)(2)两小题中第二个空所填写的式子有什么共同点？它们与分数又有什么相同点和不同点？
，是分数，，是分式，这节课我们将认识分式．
【教学与建议】教学：通过对分式与分数的类比，初步学会运用类比转化的思想方法研究数学问题．建议：教学中教师要激活学生原有的知识，使学生的学习是在原有知识上类比生成的过程．
●置疑导入　多媒体展示，学生欣赏一组图片(长江三峡)．
长江三峡自古以来就是四川通往中原的重要水路，也是秀美壮丽、享誉中外的世界旅游胜地．
早在1 500多年前的魏晋时期，地理学家郦道元就在他的著作《水经注》中留下一段生动的描述：“有时朝发白帝，暮到江陵，其间千二百里，虽乘奔御风，不以疾也．”
多媒体出示以下问题：
(1)如果客船早7时从白帝城启航，顺水而下，傍晚7时到达江陵，航程620 km，客船航行的平均速度约为多少千米/小时？
(2)如果客船6 h航行了s km，该船航行的平均速度是多少？
(3)如果客船在静水中的航行速度为v km/h，江水流动的平均速度为20 km/h.那么客船顺水而下，航行620 km需多少时间？如果客船逆水航行s km，需要多少时间？
【教学与建议】教学：创设发现情境，通过列式进行观察初步建立分式概念．建议：引导学生继续观察式子的特征，类比分数，概括出分式的概念及一般表示形式.
命题角度1　分式的判断
分式中，A，B表示两个整式，且B中含有字母．
【例1】在下列式子中，哪些是分式？哪些是整式？
，，，，，，－.
解：分式有，，，－；整式有，，.
命题角度2　利用分式有意义的条件解题
明确分式是否有意义，需要分析、讨论分母不等于零．
【例2】下列分式中，当x取何值时，分式有意义？当x取何值时，分式的值为零？
(1)＋；(2)；(3).
解：(1)当x≠－1且x≠2时，分式有意义；
(2)∵x2≥0，∴x2＋1>0，∴x为任意实数分式都有意义；
(3)当3－2x≠0，即x≠时，分式有意义．
命题角度3　分式的值为零或为正负的条件
分式的值为零的条件：(1)分子为0；(2)分母不为0，这两个条件缺一不可．
【例3】(1)若使分式的值为零，则x的值为(C)
A．－1　　　B．－1或1　　　C．1　　　D．以上都不对
(2)当x＝__－1__时，分式的值为0.
(3)当x为何值时，的值为正数？
解：x为任意数．
分数的代数表达
把整体“1”平均分成几份，表示这样一份或几份的数叫做分数．分数的拉丁文是fraction，来自frangere，是打破、断裂的意思．汉语“分”也是分开、部分的意思．在欧几里得的《几何原本》中，真分数也是部分的意思．三千多年前埃及纸草中就已经出现了分数，把所有分数都化成单分子数之和．在14世纪中叶，为了节省地方，德·摩根推荐用a/b表示，这种记法之后出现了分数的代数表达式(分式).
高效课堂　教学设计
1．了解分式的概念，会判断一个代数式是否是分式．
2．理解分式有意义的条件．
▲重点
理解分式有意义的条件．
▲难点
根据分式有意义的条件来确定分式值为0的条件．
◆活动1　新课导入
1．数与字母的__乘积__叫单项式，单独的字母或数字也称为__单项式__．
2．几个单项式的__和__叫多项式，单项式和多项式统称为整式．
3．15÷23写成分数的形式是____；若B≠0，则A÷B可以写成____．
◆活动2　探究新知
1．教材P127　两个思考．
提出问题：
(1)观察式子，，，它们有什么共同点？
(2)它们与分数有什么相同点和不同点？
(3)它们的分子、分母有何特点？
学生完成并交流展示．
2．教材P128　思考．
提出问题：
(1)在分式中，B为什么不能为0？当B＝0时，会出现什么样的结果？
(2)分式的值为0的前提是什么？
(3)分式的值为0的条件是什么？
学生完成并交流展示．
◆活动3　知识归纳
1．一般地，如果A，B表示两个__整式__，并且B中含有__字母__，那么式子叫做__分式__．分式中，A叫做__分子__，B叫做__分母__．
2.分式有无意义只与__分母__有关，与__分子__无关：当__分母__为零时，分式无意义；当__分母__不为零时，分式有意义．
◆活动4　例题与练习
例1　教材P128　例1.
例2　列代数式表示下列数量关系，并指出哪些是整式？哪些是分式？
(1)甲每小时做x个零件，他做80个零件需多少小时？
(2)轮船在静水中每小时走a km，水流的速度是b km/h，轮船的顺流速度是多少千米/时？轮船的逆流速度是多少千米/时？
(3)x与y的差除以4的商是多少？
解：(1)；分式；(2)a＋b；a－b；整式；(3)；整式．
例3　当x取何值时，下列分式有意义？当x取何值时，下列分式无意义？当x取何值时，下列分式值为0
(1)；(2).
解：(1)有意义：x2－4≠0，即x≠±2；无意义：x2－4＝0，即x＝±2；值为0：2x－5＝0且x2－4≠0，即x＝；
(2)有意义：x2－x≠0，即x≠0且x≠1；无意义：x2－x＝0，即x＝0或x＝1；值为0：x2－1＝0且x2－x≠0，即x＝－1.
练习
1．教材P128～129　练习第1，2，3题．
2．如果分式有意义，那么x的取值范围是(B)
　A．全体实数 B．x≠1 C．x＝1 D．x＞1
3．若分式的值为0，则(C)
　A．x＝－2 B．x＝0 C．x＝1 D．x＝1或－2
4．当分式的值为负数时，x的取值范围是__x＜且x≠0__．
◆活动5　课堂小结
1．分式的概念．
2．分式概念的应用．
1．作业布置
(1)教材P133　习题15.1第1，2，3题；
(2)对应课时练习．
2．教学反思

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