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第十三章　轴对称
13．1　轴对称
13．1.1　轴对称
●情景导入　我们生活在充满图形的世界中，利用图形的某种特征我们想象和创造了许多美丽的事物，其中利用对称是非常重要的一种方法．而轴对称是对称中重要的一种，今天让我们一起走进轴对称世界，探索它的秘密吧！
探究(一)　如图，我们先来看这几幅图片，观察它们有什么共同特征．
　　　　　　
轴对称图形：一个图形沿某一直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形．
探究(二)　如图，把每组图形沿虚线对折，观察它们有什么共同特征．
　　　　　　　　
轴对称：一个图形沿着某一条直线折叠，它能够与另一个图形重合，这两个图形关于这条直线(成轴)对称．
【教学与建议】教学：创设情境，欣赏图片，感受生活中的轴对称现象和轴对称图形，归纳轴对称和轴对称图形的概念．建议：教学中要提供丰富的图案，让学生感受到数学就在我们身边．
●悬念激趣　课件投影：请同学们认真观看图片，听故事，思考最后的问题.
　　　　　　　　　
(配合动画讲故事)故事：在小河边的花丛中，有一只美丽的蝴蝶正在采花蜜，忽然，来了一只蜻蜓在它面前飞来飞去，蝴蝶生气地说：“是谁在捣乱？”蜻蜓笑嘻嘻地说：“你怎么连一家人都不认识了？我是来找你玩的．”这时蝴蝶更生气了，说道：“你是蜻蜓，我是蝴蝶，我们怎么可能是一家呢？”于是，蜻蜓就落在了旁边的一片叶子上，说：“这你就不知道了吧，不仅蜻蜓、蝴蝶是一家，有些树叶，还有我们身边的很多物体都和我们是一家呢！”
思考问题：为什么蜻蜓、蝴蝶是一家？
【教学与建议】教学：观察图片后听故事，使学生通过丰富的生活实例，欣赏并体会轴对称图形．建议：制作动画时，要突出蜻蜓和蝴蝶的轴对称性．
命题角度1　辨别轴对称图形
判断一个图形是否是轴对称图形可以根据定义，另外还可以观察它是否有对称轴，能找到对称轴也能说明它是轴对称图形．
【例1】如图所示的图案中，是轴对称图形的有__①②③④__．
　　　　　　
【例2】下列图形中，不是轴对称图形的是(D)
A．角 B．等边三角形
C．线段 D．直角梯形
命题角度2　利用轴对称的定义识别轴对称
图形的轴对称和平移一样，都是图形位置的变换，共同的特点是变化前后图形的大小、形状都相同，不同点是变换的方式不同，所以性质也不尽相同．
【例3】如图，△A′B′C′与△ABC关于直线MN成轴对称的是(B)
　　　　　　
【例4】下列各组图形是轴对称关系的有__ABC__．
　　　
命题角度3　数轴对称图形的对称轴
轴对称图形的对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线，不一定只有一条．
【例5】如图是以正方形的边长为直径，在正方形内画半圆得到的图形，则此图形的对称轴有(B)
A．2条 B．4条 C．6条 D．8条
【例6】写出下列图形的对称轴条数．
　（　6　）条对称轴　 （　0　）条对称轴　　（　4　）条对称轴
（　无数　）条对称轴 （　3　）条对称轴 （　2　）条对称轴
命题角度4　利用图形轴对称的性质解题
图形轴对称的性质：(1)成轴对称的两个图形全等；
(2)新图形上的每一点都是原图形上的某一点关于直线l的对称点；
(3)连接任意一对对应点的线段被对称轴垂直平分．
【例7】如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝50°，AD⊥BC，垂足为D，△ADB与△ADB′关于直线AD对称，点B的对称点是点B′，则∠CAB′的度数为(A)
A．10° B．20°
C．30° D．40°
【例8】如图，已知△ABC和△A′B′C′关于直线MN对称．
(1)若AC＝5，BC＝2，A′B′＝4，则△A′B′C′的周长是__11__；
(2)若∠B＝110°，∠C′＝40°，则∠A的度数为__30°__．
对称的起源
自古以来，人们就已经讨论“对称原理”之一——左和右之间的对称(比如还有上、下、前、后等之间的对称)了．对称的概念源于数学(更确切地讲是欧氏几何)，对于“对称”在生物现象中的研究，始于1848年的巴斯德(Pasteur)的工作，“对称”在天文学(甚至自然界)上的研究，则始于两千多年前的古希腊人，20世纪的物理学家从研究中发现：对称的重要性在与日俱增，这从某个方面也说明了希腊人想法的合理性．
高效课堂　教学设计
1．初步认识轴对称图形，归纳出轴对称图形、轴对称的概念，能用概念判断一个图形是否是轴对称图形．
2．通过动手试验掌握线段的垂直平分线的定义，掌握线段垂直平分线与对称轴的关系．
▲重点
判断轴对称图形和轴对称，并能够画出其对称轴．
▲难点
比较观察轴对称图形与两个图形关于某条直线对称的区别和联系．
◆活动1　新课导入
现实世界中，对称现象是普遍存在的，初步掌握对称的知识，不仅能使我们感受到自然界的美与和谐，还可以帮助我们发现一些图形(如等腰三角形)的性质，并能根据自己的设计创造出对称作品，丰富生活．你能举出一些对称的图形吗？
答：等腰三角形、京剧脸谱、物与水中倒影、蝴蝶、奥迪车标志、地标建筑物(天安门)等．
◆活动2　探究新知
1．教材P58　图13.1－1.
提出问题：
(1)这些图形有什么共同特点？
(2)你还能举出生活中类似的建筑物和图形吗？
(3)你知道什么样的图形叫做轴对称图形吗？你能给它下定义吗？
学生完成并交流展示．
2．教材P59　第1个思考和第2个思考．
提出问题：
(1)图13.1－3中的每对图形有什么共同特点？
(2)沿图中的虚线对折，虚线两边的图形能重合吗？
(3)成轴对称的两个图形全等吗？如果把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，这两个图形全等吗？这两个图形对称吗？
(4)请谈谈轴对称图形与轴对称的区别和联系．
3．教材P59　第3个思考．
提出问题：
(1)△ABC和△A′B′C′全等吗？
(2)线段AB，AC，BC的对应线段是什么？它们在数量上有什么关系？
(3)线段AA′，BB′，CC′与直线MN有什么关系？
(4)轴对称有哪些性质？
◆活动3　知识归纳
1．如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做__轴对称图形__，这条直线叫做它的__对称轴__．
2．把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么这两个图形关于这条直线__成轴对称__．
3．经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的__垂直平分线__．
4．如果两个图形关于某条直线对称，那么__对称轴__是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．
◆活动4　例题与练习
例1　在一些汉字的美术字中，有的是轴对称图形，下面四个美术字中可以看作轴对称图形的是(D)
　　　　　　
例2　如图，两个四边形关于直线l对称，∠C＝90°，试写出a，b的长度，并求出∠G的度数．
解：∵两个四边形关于直线l对称，∴a＝5 cm，b＝4 cm.∴∠H＝∠C＝90°，∠A＝∠F＝80°，∠E＝∠B＝135°，∴∠G＝360°－∠H－∠F－∠E＝360°－90°－80°－135°＝55°，
例3　如图，△ABC与△ADE关于直线MN对称，BC与DE的交点F在直线MN上．
(1)指出两个三角形中的对称点；
(2)指出图中相等的线段和角；
(3)图中还有对称的三角形吗？
解：(1)B和D，C和E，A和A；
(2)AC＝AE，AB＝AD，BC＝DE，BF＝DF，CF＝EF；
(3)有，△AFB和△AFD，△AEF和△ACF.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
练习
1．教材P60　练习第1，2题．
2．如图，△ABC与△DEF关于直线MN成轴对称，则以下结论中错误的是(A)
　A．AB∥DF
　B．∠B＝∠E
　C．AB＝DE
　D．AD的连线被MN垂直平分
3．若△ABC与△DEF关于直线m对称，AB＝4，BC＝6，△DEF的周长是15，则AC＝__5__．
4．如图，阴影三角形与哪些三角形成轴对称？它们分别以哪条直线为对称轴？
解：三角形1，3，5，7与阴影三角形成轴对称，对称轴分别为直线BD、直线GH、直线AC、直线EF.
◆活动5　课堂小结
1．轴对称图形及轴对称的概念．
2．轴对称的性质及运用．
1．作业布置
(1)教材P64～65习题13.1第1，2，3，4，5题；
(2)对应课时练习．
2．教学反思

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