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15.3　分式方程
第1课时　分式方程及其解法
●置疑导入　创设情境，导入新课
问题：一艘轮船在静水中的最大航速为25 km/h，它沿江以最大航速顺流航行90 km所用时间与以最大航速逆流航行60 km所用时间相等，江水的流速为多少？
(学生分析，根据“两次航行所用时间相等”这一相等关系列出方程)
分析：设江水的流速为v km/h，
则轮船顺流航行的速度为(25＋v) km/h，逆流航行的速度为(25－v) km/h，顺流航行90 km所用的时间为 h，逆流航行60 km所用的时间为 h．可列方程＝.
【教学与建议】教学：通过经历实际问题→列分式方程→置疑，发展学生分析问题和解决问题的能力．建议：小组讨论，归纳分式方程的概念及解法．
思考：(1)方程＝与以前所学的整式方程有何不同？
(2)什么叫分式方程？
(3)如何解分式方程＝呢？怎样检验所求未知数的值是原方程的解？
(4)你能结合上述探究活动归纳出解分式方程的基本思路和方法吗？
●复习导入　
1．含有__未知数的等式__叫做方程．使方程左、右两边__相等__的未知数的值叫做方程的解．
2. 在x＝0，x＝1，x＝－1中，哪个是方程＝0的解？为什么？
解：(1)当x＝0时，左边＝＝＝0，右边＝0，∴左边＝右边，
∴x＝0是方程＝0的解．
(2)当x＝1时，左边式子无意义，∴x＝1不是方程＝0的解．
(3)当x＝－1时，左边＝＝＝0，∴左边＝右边，
∴x＝－1是方程＝0的解．
3．把的分子分母都加上同一个数， 能使分数的值变为吗？
设所求的数为x，则依据题意可列出方程＝.
这个方程和我们以前所见过的方程不同，它的主要特点是分母中含有未知数，这种方程就是我们今天要研究的分式方程．
【教学与建议】教学：通过复习整式方程和方程解的概念导入新课，直接进入本节课的难点：使分式的分母为零的值不是方程的解．建议：可先由学生讨论如何解这个方程，再在学生讨论的基础上分析，要把分式方程转化为整式方程．
命题角度1　判别分式方程
分式方程有两个重要特征：一是方程；二是分母中含有未知数．
【例1】(1)下列是分式方程的是(B)
A．－－3x＝6 B．－1＝0 C．－3x＝5 D．2x2＋3x＝－2
(2)下列方程中，a，b为已知数，x为未知数：
①＋＝；②＋＝4；③＋＝x；④＋2＝；⑤＝0.
其中是关于x的分式方程的是__②④⑤__．
命题角度2　解分式方程
解分式方程的一般步骤：去分母，把分式方程化为整式方程，再解这个整式方程，最后验根．
【例2】(1) 分式方程＝1的解是(C)
A．x＝1 B．x＝－1 C．x＝5 D．x＝－5
(2)①当x＝__2__时，式子－的值为－1；
②方程＝的解为__x＝9__．
命题角度3　利用分式方程的增根解题
由分式方程的增根一定是所化成的整式方程的根，同时还使其最简公分母的值为零，据此可以解决一些相关的问题．
【例3】(1)若关于x的分式方程＝＋1有增根，则m＝__3__；
(2)若关于x的分式方程＋＝无解，则m的值为__－1或－或5__．
高效课堂　教学设计
1．理解分式方程的概念．
2．了解解分式方程的一般步骤，熟练掌握分式方程的解法．
3．理解分式方程验根的必要性，掌握解分式方程验根的方法．
▲重点
分式方程的解法．
▲难点
分式方程的解题步骤及验根．
◆活动1　新课导入
1．含有__一__个未知数，并且未知数的指数是__1__的整式方程叫做一元一次方程．
2．解一元一次方程的一般步骤有：__去分母__、__去括号__、移项、__合并同类项__、系数化为1.
3．解方程：＝＋1.
解：去分母，得2(x＋1)＝3(2x－5)＋12.
去括号，得2x＋2＝6x－15＋12.
移项，得2x－6x＝－15＋12－2.
合并同类项，得－4x＝－5.
系数化为1，得x＝.
◆活动2　探究新知
1．教材P149　思考以上的内容．
提出问题：
(1)观察方程＝有什么特征？
(2)它与我们学过的整式方程有什么不同？
(3)什么叫分式方程？
学生完成并交流展示．
2．教材P149　思考至P150　思考上面的内容．
提出问题：
(1)你知道怎么解方程＝吗？
(2)能否将分式方程化为整式方程再进行计算？将分式方程化为整式方程的关键步骤是什么？
(3)解分式方程中，得到的整式方程的解一定是分式方程的解吗？
(4)解分式方程的一般步骤是什么？
学生完成并交流展示．
3．教材P150　思考．
学生完成并交流展示．
◆活动3　知识归纳
1．__分母__含有未知数的方程叫做分式方程．
2．解分式方程的基本思路是将分式方程化为__整式方程__，具体做法是__去分母__.
3．解分式方程时，__去分母__后所得的整式方程的解有可能使原方程中__分母__为0，因此解分式方程需验根．将整式方程的解代入__最简公分母__，如果__最简公分母__的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解；否则这个解不是原分式方程的解．
◆活动4　例题与练习
例1　教材P151　例1.
例2　教材P151　例2.
例3　符号称为二阶行列式，规定它的运算法则为＝ad－bc，请你根据上述规定求出等式＝1中x的值．
解：由题意，得－＝1，解得x＝4.检验：当x＝4时，x－1≠0，∴x的值为4.
例4　若关于x的方程＋＝无解，求k的值．
解：k＝－1或－时，原分式方程无解．
练习
1．教材P152　练习．
2．解下列方程：
(1)＝－2；
解：方程两边乘2x－2，得2x＝3－2(2x－2)，解得x＝.
检验：当x＝时，2x－2≠0.∴x＝是原分式方程的解；
(2)＋1＝.
解：方程两边乘x－2，得x－3＋x－2＝－3，解得x＝1.
检验：当x＝1时，x－2≠0.∴x＝1是原分式方程的解．
3．如果关于x的方程1＋＝的解也是不等式组 的一个解，求m的取值范围．
解：解分式方程，得x＝－m－2.∵x≠±2，∴－m－2≠±2，∴m≠－4且m≠0.解不等式组，得－3＜x＜5，∴－3＜－m－2＜5，解得－7＜m＜1，∴m的取值范围为－7＜m＜1，且m≠－4且m≠0.
◆活动5　课堂小结
1．分式方程的概念．
2．分式方程的解法．
1．作业布置
(1)教材P154　习题15.3第1，2题；
(2)对应课时练习．
2．教学反思

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