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第3课时　行程问题及销售问题
●类比导入　
1．列方程解应用题的一般步骤是：
(1)__审题设未知数__；
(2)__找等量关系列方程__；
(3)__解方程__；
(4)__验根是否符合实际意义__；
(5)__解答__；
2．类比一般方程，列分式方程解应用题的一般步骤是：
(1)__审题设未知数__；
(2)__找等量关系列方程__；
(3)__去分母化分式方程为整式方程__；
(4)__解整式方程__；
(5)__验根是否符合实际意义__；
(6)__解答__．
【教学与建议】教学：通过复习列方程解应用题的一般步骤类比归纳解分式方程的一般步骤．建议：教学中通过学生的回顾与思考，加深学生对解分式方程应用题的步骤的认识．
●置疑导入　某次列车平均提速v km/h.用相同的时间，列车提速前行驶s km，提速后比提速前多行驶50 km，提速前列车的平均速度为多少？
　
(1)行程问题的基本关系式是__s＝vt__；
(2)设提速前这次列车的平均速度为x km/h，则提速后的平均速度为__(x＋v)__km/h;
(3)用相同时间，列车提速前行驶s km，提速后比提速前多行驶50 km，那么列车提速后行驶的路程为__(s＋50)__km;
(4)等量关系式是__列车提速前行驶的时间＝列车提速后行驶的时间__；
(5)列车提速前所用时间为____h，列车提速后所用时间为____h;
(6)根据“相同时间”这一等量关系，可列方程为__＝__.
【教学与建议】教学：通过对比提速前后列车的图片吸引学生的注意力，提出问题．建议：在出示例题的过程中，教师借助问题给学生展示时代的发展，使其增强对国家发展的成就感．
命题角度1　利用分式方程解决行程问题
掌握行程问题常用的等量关系是解决此类问题的关键．
【例1】(1)马小虎的家距离学校1 800 m，一天马小虎从家去上学，出发10 min后，爸爸发现他的数学课本忘记拿了，立即带上课本去追他，在距离学校200 m的地方追上了他，已知爸爸的速度是马小虎速度的2倍，则马小虎的速度为__80__m/min__；
(2)为了对学生进行革命传统教育，某中学开展了“清明节祭扫”活动．全校学生从学校同时出发，步行4 000 m到达烈士纪念馆．学校要求九(1)班提前到达目的地，做好活动的准备工作．行走过程中，九(1)班步行的平均速度是其他班的1.25倍，结果比其他班提前10 min到达．分别求九(1)班和其他班步行的平均速度．
解：九(1)班步行的平均速度：100 m/min；其他班步行的平均速度：80 m/min.
瘙嚔命题角度2　利用分式方程解决商品营销问题
分式方程的应用中与价格利润问题相关的相等关系：销售额＝售价×销售量，利润＝销售额－成本，利润率＝×100%.根据题意寻求相关等量关系，依据分式方程的解法进行求解．
【例2】(1)我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，遣人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽．”其大意为：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6 210文．如果每件椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6 210文能买多少株椽？设这批椽的数量为x株，则符合题意的方程是(A)
A．3(x－1)＝ B．＝3
C．3x－1＝ D．＝3
(2)某校为了增强学生对中华优秀传统文化的理解，决定购买一批相关的书籍．根据了解《经典著作》的单价比《传说故事》的单价多8元，用12 000元购买《经典著作》与用8 000元购买《传说故事》的本数相同，这两类书籍的单价各是多少？
解：设《传说故事》的单价为x元，则《经典著作》的单价为(x＋8)元．由题意，得＝.解得x＝16.经检验，x＝16是原方程的解，且符合题意．则x＋8＝24.
答：《传说故事》的单价为16元，《经典著作》的单价为24元．
(3)某文体商店计划购进一批同种型号的篮球和同种型号的排球，每个排球的进价是每个篮球的进价的90%，已知用3 600元购买排球的个数要比用3 600元购买篮球的个数多10个．
①每个篮球、排球的进价各是多少元？
②该文体商店计划购进篮球和排球共100个，且排球个数不低于篮球个数的3倍，篮球的售价定为每个100元，排球的售价定为每个90元．若该批篮球、排球都能卖完，则该文体商店应购进篮球、排球各多少个才能获得最大利润？最大利润是多少？
解：①设每个篮球的进价x元，则每个排球的进价0.9x元．
由题意，得＋10＝.
解得x＝40.经检验，x＝40是原分式方程的解，且符合题意，则0.9x＝36.
答：每个篮球的进价为40元，每个排球的进价为36元；
②设所获利润为W，购进篮球m个，则购进排球(100－m)个．
由题意，得W＝(100－40)m＋(90－36)(100－m)＝6m＋5 400(0＜m≤25)，
∴W随m的增大而增大．
∴当m＝25时，W有最大值，W最大＝6×25＋5 400＝5 550，则100－m＝75.
答：该文体商店应购进篮球25个，排球75个，才能获得最大利润为5 550元．
高效课堂　教学设计
通过对实际问题的分析，进一步感受分式方程是刻画现实世界的有效模型．
▲重点
建立数学模型，列分式方程解决行程问题和销售问题．
▲难点
列分式方程解决实际问题．
◆活动1　新课导入
列分式方程解应用题的步骤：
(1)审：__审清题意，弄清已知量和未知量__；
(2)找：__找出等量关系__；
(3)设：__设未知数__；
(4)列：__列出分式方程__；
(5)解：__解这个分式方程__；
(6)验：__检验，既要检验所求得的根是否为所列分式方程的根，又要检验所求得的根是否符合实际意义__；
(7)答：__写出答案__．
注意，先检验是否是原分式方程的根，再检验是否符合题意．
◆活动2　探究新知
教材P153　例4.
提出问题：
(1)列分式方程解决实际问题有什么方法技巧？
(2)列分式方程解应用题的基本思路和列整式方程解应用题的基本思路是否相同？关键步骤是什么？解出分式方程后要注意什么？
学生完成并交流展示．
◆活动3　知识归纳
分式方程应用题中常见的几个类型：
(1)行程问题：基本公式：路程＝速度×时间，而行程问题中又分相遇问题、追及问题；
(2)销售问题：基本公式：
①利润＝单个利润×销售总数；
②利润＝总收入－总支出；
(3)数字问题：在数字问题中要掌握十进制数的表示法；
(4)工程问题：基本公式：工作量＝工时×工效．
◆活动4　例题与练习
例1　教材P153　例4.
例2　甲、乙两座城市的中心火车站A，B两站相距360 km，有一动车和特快列车分别从A，B同时出发，相向而行．动车的平均速度比特快列车快54 km/h，当动车到达B站时，特快列车恰好到达距离A站135 km处的C站．求动车和特快列车的平均速度各是多少？
解：设特快列车的平均速度是x km/h，则动车的平均速度是(x＋54) km/h，根据题意，得＝，解得x＝90.
经检验，x＝90是原分式方程的解，且符合题意．
则x＋54＝144.
答：特快列车的平均速度是90 km/h，动车的平均速度是144 km/h.
例3　学校计划选购甲、乙两种图书作为“校园读书节”的奖品．已知甲种图书的单价是乙种图书单价的1.5倍；用600元单独购买甲种图书比单独购买乙种图书要少10本．
(1)甲、乙两种图书的单价分别为多少元？
(2)若学校计划购买这两种图书共40本，且投入的经费不超过1 050元，要使购买的甲种图书数量不少于乙种图书的数量，则共有几种购买方案？
解：(1)设乙种图书的单价为x元，则甲种图书的单价为1.5x元．
由题意，得－＝10，解得x＝20.
经检验，x＝20是原分式方程的根，且符合题意，则1.5x＝30.
答：甲种图书的单价为30元，乙种图书的单价为20元；
(2)设购买甲种图书a本，则购买乙种图书(40－a)本．
根据题意，得
解得20≤a≤25，∴a＝20，21，22，23，24，25，则40－a＝20，19，18，17，16，15.
答：共有6种购买方案．
练习
1．教材P154　练习第1题．
2．一艘轮船在静水中的最大航速为30 km/h，它以最大航速沿江顺流航行100 km所用时间，与以最大航速逆流航行80 km所用的时间相等．设江水的流速为 v km/h，则可列方程为(C)
　A．＝ B．＝
　C．＝ D．＝
3．近年来，我国逐步完善养老金保险制度．甲、乙两人计划用相同的年数分别缴纳养老保险金15万元和10万元，甲计划比乙每年多缴纳养老保险金0.2万元．求甲、乙两人计划每年分别缴纳养老保险金多少万元．
解：设乙计划每年缴纳x万元，则甲计划每年缴纳(x＋0.2)万元．
根据题意，得＝，解得x＝0.4.
经检验，x＝0.4是原分式方程的解，且符合题意，∴x＋0.2＝0.6.
答：甲计划每年缴纳养老保险金0.6万元，乙计划每年缴纳养老保险金0.4万元.
◆活动5　课堂小结
1．探究列分式方程解决实际问题的步骤．
2．列分式方程解决实际问题．
1．作业布置
(1)教材P154～155　习题15.3第3，8题；
(2)对应课时练习．
2．教学反思

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