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第十二章　全等三角形
12．1　全等三角形
●置疑导入　【问题1】如图，观察下列图形，指出其中形状与大小相同的图形．
　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　
【问题2】从上面的图形中你有什么感受？在实际生活中，你能列举出形状、大小相同的图形吗？
【教学与建议】教学：用常见的图形吸引学生的注意力，激发他们对新知识的好奇心．建议：初步感知全等形是形状与大小完全相同的图形．
●归纳导入　1.师生各自展示课前收集到的形状、大小相同的实物图形及自制的三角形模型．
2．教师演示课件(动态展示下面四组图案)，提出问题，学生观察思考、相互交流．
(1)图①中2022年北京—张家口(第24届)冬奥会的会徽的两张照片形状、大小相同吗？放在一起能完全重合吗？
(2)图②中球门框上相对的两个四边形形状、大小相同吗？放在一起能完全重合吗？
(3)图③中同种颜色的三角形形状、大小相同吗？放在一起能完全重合吗？
　　　　
【归纳】能够完全重合的两个图形叫做全等形．能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形．
【教学与建议】教学：展示现实生活中存在着大量形状、大小相同的图形．建议：选择贴近学生生活的图片探究全等形．
命题角度1　辨别全等图形
两个图形是否全等只与这两个图形的形状和大小有关，把它们叠放在一起，能完全重合即为全等形．
【例1】下列四个图形中，与所给图形全等的是(B)
　　 　　　　　　
命题角度2　利用全等三角形的定义找全等三角形的对应元素
在两个全等三角形中找对应边、对应角的方法：(1)最长边对最长边，最短边对最短边，最大角对最大角，最小角对最小角；(2)对应角的对边为对应边，对应边的对角为对应角；(3)重合的边(角)是对应边(角)，公共边(角)是对应边(角)，对顶角是对应角．
【例2】如图，沿直线BD对折，△ABD和△CBD重合，则△ABD≌△__CBD__，AB的对应边是__CB__，BD的对应边是__BD__，∠ADB的对应角是__∠CDB__．
【例3】如图，在图中的两个三角形是全等三角形，其中点A和点D，点B和E是对应点．
(1)用符号表示两个三角形全等，并写出图中相等的线段和角；
(2)写出图中一组平行的线段，并说明理由．
解：(1)△ABC≌△DEF，AB＝DE，BC＝EF，
AC＝DF，AF＝DC，∠A＝∠D，∠B＝∠E，
∠ACB＝∠DFE，∠BCD＝∠EFA；
(2)∵△ABC≌△DEF，
∴∠A＝∠D，∴AB∥DE.(或写BC∥EF，理由略)
命题角度3　利用全等三角形的性质解决线段或角的问题
全等三角形的性质：对应角、对应边相等，周长相等，面积相等．
【例4】如图，若△ABC≌△EBD，且BD＝4 cm，∠D＝60°，则∠ACE＝__120°__，BC＝__4__cm.
　　　　　　
【例5】如图，在△ABC中，D，E分别是边AC，BC上的点，若△ADB≌△EDB≌△EDC，则∠C的度数为__30°__．
命题角度4　利用全等变换解决问题
一个图形经过平移、翻转、旋转后，其形状、大小没有改变，所以变换前后的图形是全等的．
【例6】如图，若把△ABC绕点A旋转一定的角度得到△ADE，则图中全等的三角形记为__△ABC≌△ADE__，∠BAC的对应角为__∠DAE__，DE的对应边为__BC__．
【例7】如图，Rt△EBC中，∠EBC＝90°，∠E＝35°.以B为中心，将Rt△EBC绕点B逆时针旋转90°得到△ABD，求∠ADB的度数．
解：∵在Rt△EBC中，∠EBC＝90°，∠E＝35°，
∴∠ECB＝55°.
∵将Rt△EBC绕点B逆时针旋转90°得到△ABD.
∴△ABD≌△EBC，
∴∠ADB＝∠ECB＝55°.
高效课堂　教学设计
1．学会辨认全等三角形的对应元素．
2．理解并掌握全等三角形的性质．
▲重点
全等三角形的性质．
▲难点
熟练运用全等三角形的性质解决问题．
◆活动1　新课导入
1．观察下列图形，指出其中形状与大小相同的图形．
2．从上面的图形中你有什么感受？在实际生活中，你能找到形状、大小相同的图形的例子么？
◆活动2　探究新知
1．教材P31　探究．
提出问题：
(1)照图形裁下来的纸板与三角尺有什么共同特点？
(2)把形状、大小相同的图形放在一起，能否完全重合？
(3)根据上面的探究，你能归纳出全等形和全等三角形的概念吗？
学生完成并交流展示．
2．教材P31　思考．
提出问题：
(1)每组图形中，△ABC是经过怎样的变换得到新三角形的？
(2)变换前后，△ABC与新三角形之间有什么异同，它们能完全重合吗？
(3)它们是全等三角形吗？
(4)请用符号表示它们之间的关系；
(5)在用“≌”表示两个三角形全等关系时，需注意什么？
学生完成并交流展示．
3．教材P32　思考．
提出问题：
(1)全等三角形的对应边相等吗？对应角相等吗？为什么？
(2)如图，△ABC≌△DEF，则AB＝__DE__，BC＝__EF__，AC＝__DF__，∠A＝__∠D__，∠B＝__∠E__，∠C＝__∠F__．
学生完成并交流展示．
◆活动3　知识归纳
1．能够__完全重合__的两个图形叫做全等形．两个图形是否全等只与这个图形的__形状__和__大小__有关，与位置无关．
2．能够完全重合的两个三角形叫做__全等三角形__．平移、翻折、旋转前后的图形__全等__．把两个全等的三角形重合到一起，重合的顶点叫做__对应顶点__，重合的边叫做__对应边__，重合的角叫做__对应角__，全等用符号“__≌__”表示，读作“__全等于__”，记两个三角形全等时，表示对应顶点的字母要写在__对应位置上__．
3．全等三角形的对应边__相等__，全等三角形的对应角__相等__．
◆活动4　例题与练习
例1　如图，△ABC≌△DEF，∠B＝30°，∠A＝50°，BF＝2，求∠DFE的度数与EC的长．
解：∵∠B＋∠A＋∠ACB＝180，
∴∠ACB＝180°－∠A－∠B＝180°－50°－30°＝100°.
又∵△ABC≌△DEF，
∴∠DFE＝∠ACB＝100°，EF＝CB，
∴EF－CF＝CB－CF，即CE＝BF＝2.
例2　如图，△ABC≌△ADE，∠DAC＝60°，∠BAE＝100°，BC交DE于点F，交AD于点G，求∠DFB的度数．
解：∵△ABC≌△ADE，∴∠B＝∠D，∠BAC＝∠DAE.
又∵∠BAD＝∠BAC－∠CAD，
∠CAE＝∠DAE－∠CAD，∴∠BAD＝∠CAE.
∵∠DAC＝60°，∠BAE＝100°，
∴∠BAD＝(∠BAE－∠DAC)＝20°.
∵在△ABG和△FDG中，∠B＝∠D，∠AGB＝∠FGD，
∴∠DFB＝∠BAD＝20°.
练习
1．教材P32　练习第1，2题．
2．如图，若把△ABC绕点A旋转一定的角度得到△ADE，那么图中全等的三角形记为__△ABC≌△ADE__．
3．如图，△ADF≌△CBE，且点E，B，D，F在同一条直线上，判断AD与BC的位置关系，并说明理由．
解：AD∥BC.理由如下：∵△ADF≌△CBE，
∴∠1＝∠2，∠F＝∠E.
又∵∠3＝∠1＋∠F，∠4＝∠2＋∠E，
∴∠3＝∠4，∴AD∥BC.
◆活动5　课堂小结
1．全等三角形的概念．
2．全等三角形的性质．
1．作业布置
(1)教材P33　习题12.1第1，2，3，4题．
(2)对应课时练习．
2．教学反思

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