资源简介

*5　一元二次方程的根与系数的关系
●情景导入　老师带着大家到法国观光旅游好不好？(出示多媒体)让学生在聆听理查德·克莱德曼的《致爱丽丝》中欣赏：法国文化——埃菲尔铁塔、时装秀、红酒文化、巴黎圣母院．文化是相通的，科学更是这样．在16世纪的法国，诞生了一位伟大的数学家韦达，他最早发现代数方程中根与系数之间的关系，这种关系称为韦达定理．
【教学与建议】教学：阅读了解历史中的现代数学之父——韦达，知道韦达定理．建议：提前让学生了解收集数学家韦达事迹和成就．
●归纳导入　(1)解下列方程，将得到的解填入下面的表格中．
①x2－5x＋6＝0；②x2＋3x－10＝0；③3x2－4x＋1＝0.
方程 x1 x2 x1＋x2 x1·x2
x2－5x＋6＝0 2 3 5 6
x2＋3x－10＝0 2 －5 －3 －10
3x2－4x＋1＝0 1
(2)x1＋x2与x1·x2的值与各方程中系数有什么关系？
(3)一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，当b2－4ac≥0时，x1＋x2与x1·x2的值是多少？
(4)归纳：x1＋x2＝－，x1·x2＝.
【教学与建议】教学：求一元二次方程的根，归纳根与系数之间的关系．建议：分小组计算．
命题角度1　已知方程一根求另一根
利用一元二次方程根与系数的关系求得两根之和或两根之积，然后代入已知一根求得另一根．
【例1】方程x2＋kx－6＝0的一个根是－3，则另一个根是__2__．
命题角度2　已知一元二次方程，求含根的代数式的值
不解方程，利用根与系数的关系代入求值计算即可．
【例2】(1)已知α，β是方程x2＋x－2 021＝0的两个根，则α2＋2α＋β的值为__2__020__．
(2)已知m，n是方程2x2－x－7＝0的两个实数根，则m＋n－mn的值为__4__．
命题角度3　由两根的关系式求参数的值
先根据Δ≥0求得参数的取值范围，再把由根与系数的关系得到的两个式子代入题目中所提供的关系式，得到取值范围内参数的值．
【例3】(1)若α，β是关于x的一元二次方程x2－2x＋m＝0的两实根，且＋＝－，则m等于(B)
A．－2 B．－3 C．2 D．3
(2)关于x的一元二次方程x2＋(m＋3)x＋m＋1＝0有两个实数根，且满足x＋x＝4，则m的值是__－1或－3__．
命题角度4　知根求方程
若给出两根，则可以直接根据根与系数的关系列出方程．
【例4】(1)已知x1，x2是方程x2＋2ax＋b＝0的两根，且x1＋x2＝3，x1x2＝1，则原方程是__x2－3x＋1＝0__．
(2)甲、乙两同学解方程x2＋px＋q＝0时，甲看错了一次项系数，得到方程的根为4和－6；乙看错了常数项，得到方程的根为3和4，则原方程为__x2－7x－24＝0__．
高效课堂　教学设计
1．理解并掌握一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两根x1，x2与系数a，b，c之间的关系．
2．会利用一元二次方程根与系数的关系解决有关问题．
▲重点
观察一元二次方程的两根之和、两根之积与原方程系数之间的关系．
▲难点
根与系数关系的应用．
◆活动1　创设情境　导入新课(课件)
数学与生活息息相关，前面，我们主要研究了一元二次方程的解法，请同学们回顾一下，一元二次方程的解法一共有几种？(多媒体出示)
1．一元二次方程的解法：
(1)__配方法__；(2)__直接开平方法__；(3)__公式法__；(4)因式分解法．
2．利用因式分解法快速地求出下列方程的根．
(1)x2－2x－3＝0；　　(2)x2＋4x＋3＝0；
(3)x2－5x－6＝0; (4)x2＋7x＋12＝0.
解：(1)__(x－3)(x＋1)＝0，x1＝3，x2＝－1__；
(2)__(x＋3)(x＋1)＝0，x1＝－3，x2＝－1__；
(3)__(x－6)(x＋1)＝0，x1＝6，x2＝－1__；
(4)__(x＋3)(x＋4)＝0，x1＝－3，x2＝－4__．
3．根据方程的根的情况，完成下列问题．
(1)x2－2x－3＝0；x1＝__3__，x2＝__－1__，x1＋x2＝__2__，x1x2＝__－3__；
(2)x2＋4x＋3＝0；x1＝__－1__，x2＝__－3__，x1＋x2＝__－4__，x1x2＝__3__；
(3)x2－5x－6＝0；x1＝__6__，x2＝__－1__，x1＋x2＝__5__，x1x2＝__－6__；
(4)x2＋7x＋12＝0；x1＝__－3__，x2＝__－4__，x1＋x2＝__－7__，x1x2＝__12__．
你发现了什么规律？告诉大家．
◆活动2　实践探究　交流新知
师：我们在前面学过利用公式法求解一元二次方程，对于一般的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，它的求根公式是什么？(多媒体出示)
求根公式x＝
师：同学们掌握得很好，如果设方程的两个根为x1和x2，请同学们自主探究：
两根之和：x1＋x2＝__－__，两根之积：x1x2＝____．
(多媒体出示)
归纳：如果方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个实数根x1，x2，那么x1＋x2＝－，x1x2＝.
◆活动3　开放训练　应用举例
例1　(教材P50例题)利用根与系数的关系，求下列方程的两根之和、两根之积：
(1)x2＋7x＋6＝0；　　　　(2)2x2－3x－2＝0.
【方法指导】利用一元二次方程根与系数的关系求两根之和、两根之积时，要先利用根的判别式b2－4ac判断方程根的情况．
解：(1)这里a＝1，b＝7，c＝6.
Δ＝b2－4ac＝72－4×1×6＝49－24＝25＞0，
∴方程有两个实数根．
设方程的两个实数根是x1，x2，
那么x1＋x2＝－7，x1x2＝6；
(2)这里a＝2，b＝－3，c＝－2.
Δ＝b2－4ac＝(－3)2－4×2×(－2)＝9＋16＝25＞0，
∴方程有两个实数根．
设方程的两个实数根是x1，x2，
那么x1＋x2＝，x1x2＝－1.
例2　关于x的一元二次方程x2＋3x＋m－1＝0的两个实数根分别为x1，x2.
(1)求m的取值范围；
(2)若2(x1＋x2)＋x1x2＋10＝0，求m的值．
【方法指导】(1)由一元二次方程有两个实数根结合根的判别式，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围；
(2)根据根与系数的关系，可得出x1＋2，x1x2的值，结合已知条件可得出关于m的方程，解之即可得出m的值．
解：(1)∵关于x的一元二次方程x2＋3x＋m－1＝0的两个实数根分别为x1，x2，
∴Δ≥0，即32－4(m－1)≥0.
解得m≤；
(2)由根与系数的关系，得
x1＋x2＝－3，x1x2＝m－1.
∵2(x1＋x2)＋x1x2＋10＝0，
∴2×(－3)＋m－1＋10＝0.
∴m＝－3.
例3　若关于x的一元二次方程x2＋(k－2)x＋k2＝0的两个根互为倒数，则k＝__－1__．
【方法指导】应用根与系数关系时，注意还要考虑根的判别式．
解：设方程x2＋(k－2)x＋k2＝0的两个根为x1，x2.由一元二次方程根与系数的关系，得x1x2＝k2＝1，解得k＝±1.当k＝1时，Δ＜0；当k＝－1时，Δ＞0.综上所述，k＝－1.
◆活动4　随堂练习
1．利用根与系数的关系，求出下列方程的两根之和、两根之积．
(1)2x2－3x－4＝0；　　(2)x(2x－1)－2＝0.
解：(1)这里a＝2，b＝－3，c＝－4.Δ＝b2－4ac＝(－3)2－4×2×(－4)＝9＋32＝41＞0，∴方程有两个实数根．
设方程的两个实数根是x1，x2，那么x1＋x2＝，x1x2＝－2；
(2)原方程可化为2x2－x－2＝0，这里a＝2，b＝－1，c＝－2.Δ＝b2－4ac＝(－1)2－4×2×(－2)＝1＋16＝17＞0，∴方程有两个实数根．
设方程的两个实数根是x1，x2，那么x1＋x2＝，x1x2＝－1.
2．若关于x的一元二次方程x2＋2x＋m＝0的一个根是－2，则另一个根是__0__．
3．已知关于x的一元二次方程x2＋mx－6＝0的一个根是6，则m＝__－5__，另一个根是__－1__．
4．若方程3x2＋2x－5＝0的两个根为x1，x2，则＋＝____．
【解析】x1＋x2＝－，x1x2＝－，＋＝＝＝.
5．方程x2－(k＋1)x＋k2＋1＝0的两个实数根x1，x2，且x1x2＝5，则k的值为__4__．
【解析】由题可知：
解得∴k＝4.
◆活动5　课堂小结与作业
学生活动：今天你学习了什么？学到了什么知识？还有什么疑惑？
教学说明：本节课学习了根与系数的关系及关系的应用，要注意考虑根的判别式．
作业：P50随堂练习中的T2、T3.
P51习题2.8中的T1、T2、T3.
让学生经历探索，尝试发现韦达定理，感受不完全的归纳验证以及演译证明．通过观察、实践、讨论等活动，经历发现问题、发现关系的过程，养成独立思考的习惯，培养学生观察、分析和综合判断的能力，激发学生发现规律的积极性，激励学生勇于探索的精神．通过交流互动，逐步养成合作的意识及严谨的治学精神．

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