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4　探索三角形相似的条件
第1课时　相似三角形的定义及其判定定理1
●情景导入　小明和小亮在老师的指导下分别制作了一个三角形风筝(如图所示)．这两个风筝的形状有何关系？如何判定这两个三角形风筝相似呢？这一节课我们就来学习相似的相关知识．
【教学与建议】教学：以相似风筝图片引入新课，为解决图形相似问题做好衔接．建议：可以让学生寻找身边的相似三角形，以便理解两个三角形相似的特征．
归纳导入　回答下列问题：
(1)__各角分别相等，各边成比例__的两个多边形叫做相似多边形．
(2)相似多边形的特征：__对应角相等，对应边成比例__．
(3)__三角__分别相等、三边__成比例__的两个三角形叫做相似三角形，△ABC和△DEF相似，记作“△ABC∽△DEF”．
【教学与建议】教学：归纳相似多边形定义和性质，导入相似三角形，然后让学生猜想新知并带着问题走进今天的学习．建议：让学生根据相似多边形的性质来类推相似三角形的性质．
●置疑导入　问题1：在学习全等三角形的内容时知道，三角对应相等，三边对应相等的两个三角形全等．全等三角形的判定方法有几种？(角边角、边角边、角角边、边边边，直角三角形还可以用斜边、直角边来判定)
问题2：探究三角形全等的条件是从哪些方面去探究的？(角、边、边角结合三方面)你认为探究三角形相似应该从哪些方面去探究？(角、边、边角结合三方面)
问题3：三角形全等最多需要几个条件？(3个)你认为三角形相似最多需要几个条件？你能大胆地猜测一下相似三角形的判定方法吗？
【教学与建议】教学：引导学生类比全等三角形判定的探究方法具体制定三角形相似判定的探索方案．建议：在学生操作时，教师要引导学生进行思考、分析．
命题角度1　根据判定定理1判定三角形相似
理解判定两个三角形相似的定理1，能根据两角相等，找到两个相似的三角形．
【例1】(1)如图，点F在 ABCD的边AB上，射线CF交DA的延长线于点E，在不添加辅助线的情况下，与△AEF相似的三角形有(C)
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
(2)已知△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD是角平分线．
求证：△ABC∽△BDC.
证明：∵∠A＝36°，AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C＝72°.
∵BD平分∠ABC，∴∠DBC＝36°，∴∠A＝∠DBC.
在△ABC和△BDC中，∠C＝∠C，∠A＝∠DBC，
∴△ABC∽△BDC.
命题角度2　利用三角形相似求线段长
当两个三角形相似时，对应边是成比例的．
【例2】(1)如图，在△ABC中，AE与BC交于点D，∠C＝∠E，AD＝6，BD＝5，DE＝8，则DC的长为__9.6__．
　　　
(2)如图，在Rt△ABC中 ，∠C＝90°，AB＝14，AC＝7，D是BC上一点，BD＝8，DE⊥AB，垂足为E，求线段DE的长．
解：∵DE⊥AB，∴∠BED＝90°.
又∠C＝90°，∴∠BED＝∠C.
又∠B＝∠B，∴△BED∽△BCA，∴＝，
∴DE＝＝＝4.
命题角度3　利用三角形相似求线段的比值
根据相似三角形的对应边成比例，可以求两线段的比值．
【例3】
如图，在 ABCD中，点E是边AD上一点，且AE＝2ED，EC交对角线BD于点F，则＝____．
高效课堂　教学设计
1．掌握相似三角形的定义及相似三角形的判定定理1.
2．通过运用三角形判定定理1判定两个三角形相似，并会解决相关问题．
▲重点
相似三角形判定定理1及其应用．
▲难点
判定定理1的证明．
◆活动1　创设情境　导入新课(课件)
多媒体展示以下问题：
问题1：相似多边形的定义是什么？
各角分别相等、各边成比例的两个多边形叫做相似多边形．
问题2：你能根据相似多边形的定义说出相似三角形的定义吗？
三角分别相等、三边成比例的两个三角形叫做相似三角形．
问题3：相似三角形的定义既可以作为判定又可以作为性质，用几何语言如何表示？
如图，(1)在△ABC和△DEF中，
∵∠A＝∠D，∠B＝∠E，∠C＝∠F，＝＝，
∴__△ABC∽△DEF__；
(2)在△ABC和△DEF中，
∵△ABC∽△DEF，
∴__∠A＝∠D，∠B＝∠E，∠C＝∠F，＝＝__．
◆活动2　实践探究　交流新知
【探究1】动手操作、探索条件
问题1：如果两个三角形只有一个角相等，它们一定相似吗？如果有两个角分别相等呢？结合问题，小组内同学合作对下面的问题进行动手操作．
分别画出一个三角形，使得其中一个角等于∠α，裁剪下来对比是否相似．然后小组内成员分别画△ABC和△A′B′C′，使得∠A和∠A′都等于∠α，∠B和∠B′都等于∠β，裁剪下来对比是否相似．
问题2：与同伴合作，两个人分别画△ABC和△A′B′C′，使得∠A和∠A′都等于∠α，∠B和∠B′都等于∠β，此时，∠C与∠C′相等吗？三边的比，，相等吗？这样的两个三角形相似吗？改变∠α，∠β的大小，再试一试．
【探究2】教师多媒体演示对比结果，得到三角形相似的判定定理．
归纳：相似三角形判定定理1：两角分别相等的两个三角形相似．
用几何语言表达该定理：
如图，在△ABC和△DEF中，
∵∠A＝∠D，∠B＝∠E，
∴__△ABC∽△DEF__．
(注意：表示对应顶点的字母写在对应的位置上)
◆活动3　开放训练　应用举例
例1　(教材P89例1)如图，D，E分别是△ABC的边AB，AC上的点，DE∥BC，AB＝7，AD＝5，DE＝10，求BC的长．
【方法指导】教师引导学生从以下几个方面对例题进行分析．
(1)图中有哪些相等的角？
(2)找出图中的相似三角形，并说明理由．
(3)写出成比例线段．
解：∵DE∥BC，
∴∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C，
∴△ADE∽△ABC(两角分别相等的两个三角形相似)，
∴＝，∴BC＝＝＝14.
例2　如图，△ABC的高AD，BE相交于点F，求证：＝.
【方法指导】要证明＝，可以考虑比例式中四条线段所在的三角形是否相似，即考虑△AFE与△BFD是否相似，利用两个对应的三角形相似可以证明这个结论．
证明：∵BE⊥AC，AD⊥BC，∴∠AEF＝∠BDF＝90°.
又∵∠AFE＝∠BFD，∴△AFE∽△BFD，∴＝.
◆活动4　随堂练习
1．判断题：
(1)有一个锐角对应相等的两个直角三角形相似．(　√　)
(2)所有的直角三角形都相似．(　×　)
(3)有一个角相等的两个等腰三角形相似．(　×　)
(4)顶角相等的两个等腰三角形相似．(　√　)
2．如图，请你添加一个条件：__DE∥BC__(添加一个即可)，使得△ABC∽△ADE.
3．已知点D，E分别在线段AB，AC或它们所在的直线上，且∠1＝∠2，分别指出图中的相似三角形．
　　　
解：(1)△ABC∽△AED；(2)△ABC∽△ACD；(3)△ABC∽△ADE；(4)△ABC∽△AED.
◆活动5　课堂小结与作业
学生活动：这节课你的主要收获是什么？相似三角形的判定定理是什么？
教学说明：在学习活动中，发展学生的探究合作交流意识．
作业：课本P90习题4.5中的T1、T2、T3.
感受相似三角形与相似多边形、相似三角形与全等三角形的区别与联系，体会事物间特殊与一般的关系．让学生经历从实验探究到归纳证明的过程，发展学生的推理能力，培养学生观察、动手探究、归纳总结的能力．

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