资源简介

6　利用相似三角形测高
●情景导入　在古希腊，有一位伟大的科学家叫泰勒斯．泰勒斯年轻时是一名商人，到过不少东方国家．一年春天，泰勒斯来到埃及，埃及法老对他说：“听说你什么都知道，那就请你测量一下埃及金字塔的高度吧！”这在当时的条件下是个大难题，因为是很难爬到塔顶的．你知道泰勒斯是怎样测量金字塔的高度的吗？
学生思考，教师展示本课学习目标．
【教学与建议】教学：从情景导入怎样测量物体的高度．激发学生的想象、思维和发现．建议：要引导学生进行思考、分析．
●复习导入　请同学们回忆判定两个三角形相似的条件有哪些，本节课我们学习利用相似三角形的有关知识测量旗杆(或路灯杆)的高度．
学生回答：(1)两角分别相等的两个三角形相似；(2)两边成比例且夹角相等的两个三角形相似；(3)三边成比例的两个三角形相似．
【教学与建议】教学：回顾复习三角形相似的判定定理，为本节课奠定基础，同时揭示本节课课题，明确目标．建议：引导学生结合实际生活理解相似三角形的应用——测高，测距离等．
命题角度1　利用阳光下的影子求物体的高度
利用在太阳光下，物体、光线影子组成两个相似三角形，再利用相似三角形的性质求解．
【例1】(1)如图，阳光从教室的窗户射入室内，窗户框AB在地面上的影长DE＝1.8 m，窗户下檐距地面的距离BC＝1 m，EC＝1.2 m，那么窗户的高AB为(A)
A．1.5 m B．1.6 m
C．1.86 m D．2.16 m
(2)同一时刻，阳光下物体的高与影子的长成比例．正午某一时刻，高2 m的竹竿影长为1.5 m，若一棵树的影长为9 m，则树高为__12__m.
命题角度2　利用影子求物体的高度(影子落在墙上时)
当物体的影子有一部分落在墙上时，一部分物体的高度就是影子在墙上的高度，另一部分可以看做影子完全落在水平面上，即可利用相似三角形的相关知识来求解．
【例2】赵亮同学想利用影长测量学校旗杆的高度，如图，他在某一时刻在地面上立一根1 m长的标杆，测得影长为1.2 m，此时旗杆的影子一部分落在地面上(BC)，另一部分落在某一建筑物的墙上(CD)，分别测得其长度为9.6 m和2 m，则学校旗杆的高度是__10__m__．
命题角度3　利用标杆(或三角尺)测量物体的高度
利用标杆或三角尺构造相似三角形．
【例3】(1)如图，利用标杆BE测量建筑物的高度．已知标杆BE高1.2 m，测得AB＝1.6 m，BC＝12.4 m，A，E，D三点在一条直线上，则建筑物CD的高是(B)
A．9.3 m B．10.5 m C．12.4 m D．14 m
　　　
(2)如图，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上，已知纸板的两条直角边DE＝40 cm，EF＝20 cm，测得边DF离地面的高度AC＝1.5 m，CD＝8 m，则树的高度是__5.5__m__．
命题角度4　利用镜子的反射测量物体的高度
利用镜子的反射测量物高，常利用光线的“反射角等于入射角”证明两直角三角形相似．
【例4】如图，小明为了测量大楼MN的高度，在离N点30 m的A处放了一个平面镜，小明在A点沿NA方向后退1.5 m到C点，此时从镜子中恰好看到楼顶的M点，已知小明的眼睛(点B)到地面的高度BC是1.6 m，则大楼MN的高度是(A)
A．32 m B． m C．36 m D． m
高效课堂　教学设计
1．掌握综合运用三角形相似的判定条件和性质．
2．通过学习测量旗杆的高度，运用所学知识解决问题．
▲重点
综合运用相似三角形的判定和性质解决实际问题．
▲难点
灵活运用三角形相似的知识解决问题．
◆活动1　创设情境　导入新课(课件)
胡夫金字塔是埃及现在规模最大的金字塔，被誉为“世界古代八大奇迹之一”，古希腊数学家、天文学家泰勒斯曾经利用相似三角形的原理测量金字塔的高度．
　
◆活动2　实践探究　交流新知
【探究1】利用阳光下的影子
操作方法：如图，一名学生直立于旗杆影子的顶端处，测出该学生的影长和此时旗杆的影长，结合该学生的身高即可求出旗杆的高度．
　　　
示意图如图．
说明：AE，BC表示光线，DC表示旗杆，EB表示人影长，AB表示身高，BD表示旗杆影长．
归纳：同一时刻，物高与影长成比例．
【探究2】利用标杆
操作方法：如图，选一名学生为观测者，在他和旗杆之间的地面上直立一根高度已知的标杆，观测者前后调整自己的位置，使旗杆顶部、标杆顶部与眼睛恰好在同一直线上，测出此时他的脚与旗杆底部，以及与标杆底部的距离即可求出旗杆的高度．
　
归纳：添加辅助线构造相似三角形，利用标杆测量物体高度时，必须使观测者眼睛、标杆顶端、建筑物顶端在同一条直线上．
【探究3】利用镜子的反射
操作方法：如图，选一名学生作为观测者，在他与旗杆之间的地面上平放一面镜子，固定镜子的位置，观测者看着镜子来回调整自己的位置，使自己能够通过镜子看到旗杆顶端．测出此时他的脚与镜子的距离、旗杆底部与镜子的距离，就能求出旗杆的高度．(注意：入射角＝反射角)
归纳：利用镜子的反射测量物体的高度时，利用入射角等于反射角，等角的余角相等产生相似三角形，利用相似三角形的性质求物体的高．
◆活动3　开放训练　应用举例
例1　如图，已知高4 m的旗杆在水平地面上的影子长6 m，此时测得附近一个建筑物的影子长24 m，求该建筑物的高度．
【方法指导】利用相似三角形的性质．
解：易得△ABC∽△A′B′C′，
∴＝，即＝.
解得BC＝16.
答：该建筑物的高度是16 m.
例2　九年级(1)班课外活动小组利用标杆测量学校旗杆的高度，已知标杆高度CD＝3 m，标杆与旗杆的水平距离BD＝15 m，人的眼睛与地面的高度EF＝1.6 m，人与标杆CD的水平距离DF＝2 m，求旗杆AB的高度．
【方法指导】CD∥AB，可得△CGE∽△AHE，有＝，求出AH，旗杆AB＝AH＋HB＝AH＋EF.
解：由已知CG∥AH，
∴△CGE∽△AHE，
∴＝，∴＝，
∴AH＝11.9，
∴AB＝AH＋HB＝AH＋EF＝11.9＋1.6＝13.5(m).
例3　如图是小明设计用手电筒测量某建筑物高度的示意图，点P处放一水平的平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后刚好射到该建筑物CD的顶端C处，已知AB⊥BD，CD⊥BD，且测得AB＝1.2 m，BP＝1.8 m，PD＝12 m，那么该建筑物的高度是多少米？
【方法指导】借助物理学知识：入射角等于反射角，然后利用相似三角形的知识求解．
解：由题意，得∠APB＝∠CPD.
又∵AB⊥BD，CD⊥BD，
∴∠ABP＝∠CDP＝90°.
∴△ABP∽△CDP.
∴＝.即＝，∴CD＝8.
答：该建筑物的高度是8.
◆活动4　随堂练习
1．如图是用杠杆撬石头的示意图，C是支点，当用力压杠杆的A端时，杠杆绕C点转动，另一端B向上翘起，石头就被撬动．现有一块石头，要使其滚动，杠杆的B端必须向上翘起10 cm，已知杠杆的动力臂AC与阻力臂BC之比5∶1，要使这块石头滚动，至少要将杠杆的A端向下压__50__cm.
2．如图，一同学在广场边的小水坑里看到一棵树，他目测出自己与树的距离约为20 m，水坑距自己约5 m远，该同学的眼睛距离地面1.7 m，则树高约为多少米？
解：∵∠BAC＝∠EAD，∠BCA＝∠EDA，
∴△ABC∽△AED，
∴＝.
设树高为x m.
则有＝，
解得x＝5.1.
答：树高约5.1 m.
◆活动5　课堂小结与作业
学生活动：你这节课的主要收获是什么？学习了几种方法测高？
教学说明：利用相似三角形测高常用的三种方法：阳光测高、标杆测高、镜子测高．
作业：课本P105习题4.10中的T2、T3、T4.
本节课以活动课的方式学习，先集中讨论、确定测量方案，然后分散实际操作，最后再集中总结交流．全程以学生为主体，以活动为手段，以能力提高为目的．在探究测量方法过程中，尊重学生的自我发现，通过合作探究，感悟知识，得出结论．

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