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7　相似三角形的性质
第1课时　相似三角形中对应线段的比
●置疑导入　在生活中，我们经常利用相似的知识解决建筑类问题．如图，小王依据图纸上的△ABC，以1∶2的比例建造了模型房的房梁△A′B′C′，CD和C′D′分别是它们的立柱．
(1)试写出△ABC与△A′B′C′的对应边之间的关系和对应角之间的关系．
(2)△ACD与△A′C′D′相似吗？为什么？如果相似，指出它们的相似比．
(3)如果CD＝1.6 cm，那么模型房的房梁立柱有多高？
(4)据此，你可以发现相似三角形具有怎样的性质？
【教学与建议】教学：从学生熟悉的建筑模型房入手，层层设问．使学生明确相似比与对应高的比的关系．建议：引导学生感受实际房屋房梁的特征，根据抽象出来的几何图形解决问题．
●复习导入　前面我们学习了相似三角形的有关知识．
问题1　什么叫相似三角形？
问题2　如何判定两个三角形相似？
问题3　相似三角形有何性质？
问题4　想一想：一个三角形有三条重要的线段，即中线、高线和角平分线．如果两个三角形相似，那么这些对应线段之间有什么关系呢？
【教学与建议】教学：回顾前面所学内容，加深学生对所学知识的理解，通过设问，激发学生的学习兴趣．建议：重点让学生回顾理解三角形中中线、高线和角平分线的特征．
命题角度1　利用相似三角形的性质求距离或边长
相似三角形中的“三线段”的比等于相似比．
【例1】(1)已知△ABC∽△DEF，若△ABC与△DEF的相似比为，则△ABC与△DEF对应角平分线的比为(A)
A． B． C． D．
(2)如图，在△ABC中，D，E，M分别为AB，AC，AE边的中点，则DM∶BE等于(A)
A．1∶2 B．2∶1
C．2∶3 D．3∶4
命题角度2　利用相似三角形的性质解决实际问题
此类题主要构造相似三角形，再利用相似三角形对应线段的比等于相似比解决问题．
【例2】某高中学校为高一新生设计的学生板凳的正面视图如图所示．其中BA＝CD，BC＝20 cm，BC，EF平行于地面AD，且到地面AD的距离分别为40 cm，8 cm，为使板凳两腿底端A，D之间的距离为50 cm，那么横梁EF应为多长？(材质及其厚度等暂忽略不计)
解：过点B作BH⊥AD于点H，交EF于点M，过点C作CG⊥AD于点G，交EF于点N.
由题意，得MH＝8 cm，BH＝40 cm，
则BM＝BH－MH＝40－8＝32(cm).
∵BC∥AD，∴BH＝CG.
又∵BA＝CD，∴Rt△BAH≌Rt△CDG(HL)，
∴AH＝DG.易得四边形BHGC为矩形，∴HG＝BC＝MN＝20 cm，
∴AH＝(AD－HG)＝×(50－20)＝15(cm).
∵EF∥AD，∴＝，即＝，解得EM＝12.
同理，FN＝12 cm.
∴EF＝EM＋MN＋NF＝12＋20＋12＝44(cm).
答：横梁EF的长应为44 cm.
高效课堂　教学设计
1．理解相似三角形对应高的比、对应角平分线的比、对应中线的比与相似比的关系．
2．利用相似三角形的性质解决一些实际问题．
▲重点
相似三角形性质定理的探索及应用．
▲难点
相似三角形的性质与判定的综合应用．
◆活动1　创设情境　导入新课(课件)
课件出示问题：
1．什么叫相似三角形？相似比指的是什么？
2．全等三角形是相似三角形吗？全等三角形的相似比是什么？
3．相似三角形的判定方法有哪些？
4．根据相似三角形的概念可知相似三角形有哪些性质？
5．相似三角形还有其他的性质吗？本节我们就来探索相似三角形的其他性质．
◆活动2　实践探究　交流新知
【探究1】在生活中，我们经常利用相似的知识解决建筑类问题．如图，小王依据图纸上的△ABC，以1∶2的比例建造了模型房的房梁△A′B′C′，CD和C′D′分别是它们的立柱．
问题1：试写出△ABC与△A′B′C′的对应边之间的关系和对应角之间的关系．
问题2：△ACD与△A′C′D′相似吗？为什么？如果相似，指出它们的相似比．
问题3：如果CD＝1.5 cm，那么模型房的房梁立柱有多高？
问题4：据此，你可以发现相似三角形具有怎样的性质？
归纳：相似三角形对应高的比等于相似比．
【探究2】如图，已知△ABC∽△A′B′C′，相似比为k，AD平分∠BAC，A′D′平分∠B′A′C′，E，E′分别为BC，B′C′的中点．试探究AD与A′D′的比值关系．AE与A′E′呢？
归纳：相似三角形对应角平分线的比，对应中线的比等于相似比．
【探究3】我们己经得到了相似三角形中特殊线段的关系，如果把角平分线、中线变为对应角的三等分线、四等分线、…、n等分线，对应边的三等分线、四等分线、…、n等分线，那么它们也具有特殊关系吗？下面请同学们独立探索以下问题：
如图，已知△ABC∽△A′B′C′，△ABC与△A′B′C′的相似比为k，点D，E在BC边上，点D′，E′在B′C′边上．
(1)若∠BAD＝∠BAC，∠B′A′D′＝∠B′A′C′，则等于多少？
(2)若BE＝BC，B′E′＝B′C′，则等于多少？
(3)你还能提出哪些问题？与同伴交流．
归纳：(1)相似三角形对应边的比等于相似比；
(2)相似三角形的各对应角相等，各对应边成比例；
(3)相似三角形对应高的比、对应角平分线的比、对应中线的比都等于相似比．
◆活动3　开放训练　应用举例
例1　(教材P107例1)如图，AD是△ABC的高，AD＝h，点R在AC边上，点S在AB边上，SR⊥AD，垂足为E.
当SR＝BC时，求DE的长．如果SR＝BC呢？
【方法指导】相似三角形的判定及相似三角形的性质．
解：∵SR⊥AD，BC⊥AD，∴SR∥BC，
∴∠ASR＝∠B，∠ARS＝∠C，
∴△ASR∽△ABC(两角分别相等的两个三角形相似).
∴＝(相似三角形对应高的比等于相似比).
即＝.
当SR＝BC时，＝，解得DE＝h.
当SR＝BC时，＝，解得DE＝h.
例2　如图，CD是Rt△ABC的斜边AB上的高．
(1)则图中有几对相似三角形？
(2)若AD＝9 cm，CD＝6 cm，求BD；
(3)若AB＝25 cm，BC＝15 cm，求BD.
【方法指导】相似三角形的判定和性质的综合应用．
解：(1)∵CD⊥AB，∴∠ADC＝∠BDC＝∠ACB＝90°.
在△ADC和△ACB中，∠ADC＝∠ACB＝90°，∠A＝∠A，
∴△ADC∽△ACB，
同理可知，△CDB∽△ACB，△ADC∽△CDB.
所以图中有三对相似三角形；
(2)∵△ACD∽△CBD，∴＝，
即＝，∴BD＝4 cm；
(3)∵△CBD∽△ABC，∴＝，
即＝，BD＝＝9(cm).
◆活动4　随堂练习
1．顺次连接△ABC三边的中点，所构成的三角形与原三角形对应高的比是(C)
A．1∶4 B．1∶3 C．1∶2 D．1∶
2．已知△ABC∽△A′B′C′，AD和A′D′是它们的角平分线，且AD＝8 cm，A′D′＝3 cm，则△ABC与△A′B′C′对应中线的比是__8∶3__．
3．如图，在△ABC中，内接矩形DEFG的一边DE在BC上，AH是BC上的高，AH交GF于点K，BC＝48，EF＝10，DE＝18.求AK的长．
解：∵四边形DEFG为矩形，
∴GF∥BC，GF＝DE＝18，
KH＝FE＝10，
∴△AGF∽△ABC，
∴＝，即＝，
∴AK＝6.
◆活动5　课堂小结与作业
学生活动：你这节课有哪些收获？还有什么疑惑？
教学说明：探索相似三角形中对应线段之比与相似比之间的关系，培养学生的探索精神和合作意识．
作业：课本P107随堂练习，P108习题4.11中的T2、T3、T4.
本节课通过课堂验证“相似三角形对应高的比、对应角平分线的比、对应中线的比都等于相似比”，教师要发现学生分析问题的独到见解以及思想的误区．课堂上要把激发学生的学习热情和让学生获得学习的能力放在首位，通过应用各种启发和激励的语言，以及组织小组合作学习，帮助学生形成积极主动的求知态度．

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