资源简介

*5　相似三角形判定定理的证明
●情景导入　(1)观察并思考，用叠合法证明如图所示两个风筝图形相似．
(2)相似三角形的判定方法有哪些？
【教学与建议】教学：利用学生感兴趣的动画演示开始本节课的学习和探讨，让学生在不知不觉中感受学习数学的乐趣．建议：通过让学生寻找身边形状相同的三角形，来理解相似三角形的特征．
●复习导入　填空：我们通过画图、测量、计算等探索过程发现了三种判定两个三角形相似的方法：(1)__两角对应相等__的两个三角形相似；(2)__两边成比例且夹角相等__的两个三角形相似；(3)__三边成比例__的两个三角形相似．
【教学与建议】教学：之前用的是由特殊到一般的归纳方法，必须经过证明才能确定其是真命题．建议：小组交流讨论．
命题角度1　相似三角形性质与判定的综合
相似三角形的对应角相等，对应边成比例，根据相似三角形边的对应关系可以求边长．
【例1】如图，已知△ABC和△ADE均为等边三角形，点D在BC上，DE与AC相交于点F，AB＝9，BD＝3，则CF等于(B)
A．1 B．2 C．3 D．4
命题角度2　利用三角形相似解决动点问题
根据题目寻找条件证明两个三角形相似，并能利用相似来解决动点问题．
【例2】如图，在钝角三角形ABC中，AB＝6 cm，AC＝12 cm，动点D从点A出发到点B止，动点E从点C出发到点A止．点D运动的速度为1 cm/s，点E运动的速度为2 cm/s.如果两点同时运动，那么当以点A，D，E为顶点的三角形与△ABC相似时，运动的时间是(A)
A．3 s或4.8 s B．3 s
C．4.5 s D．4.5 s或4.8 s
高效课堂　教学设计
1．了解相似三角形定理的证明过程，提高推理能力．
2．会证明三角形判定定理．
▲重点
判定定理的证明．
▲难点
判定定理的应用．
◆活动1　创设情境　导入新课(课件)
1．相似三角形的判定定理有哪些？
①__两角分别相等的两个三角形相似__；②__两边成比例且夹角相等的两个三角形相似__；③__三边成比例的两个三角形相似__．
2．你能写出这些定理的推导过程吗？
◆活动2　实践探究　交流新知
【探究1】两角分别相等的两个三角形相似定理的证明．
问题1：证明过程中共作了几条辅助线，各辅助线是如何添加的？作辅助线的目的是什么？
截取线段找点D→作两条平行线→线段成比例
问题2：证得四边形DFCE是平行四边形目的是什么？
平行四边形→线段相等→三边成比例
问题3：根据什么证得△ADE∽△ABC
答：相似三角形的定义．
【探究2】判定定理2，3的证明．
问题1：定理2，3的证明过程与定理1的证明过程共同点是什么？
作平行线→相似→相等→相似
问题2：定理2，3的证明过程与定理1的证明过程的不同点是什么？
答：定理2，3只作了__1__条辅助线，它在定理1的基础上证明的，简单一些．
◆活动3　开放训练　应用举例
例1　如图，已知E是矩形ABCD的边CD上一点，BF⊥AE于F.求证：△ABF∽△EAD.
【方法指导】根据两角对应相等的两个三角形相似可解．
证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，∠D＝90°，
∴∠BAF＝∠AED.
∵BF⊥AE，∴∠AFB＝90°.
∴∠AFB＝∠D，
∴△ABF∽△EAD.
例2　已知，如图，D为△ABC内一点，连接BD，AD，以BC为边在△ABC外作∠CBE＝∠ABD，∠BCE＝∠BAD，连接DE.求证：△DBE∽△ABC.
【方法指导】由已知条件∠ABD＝∠CBE，所以∠DBE＝∠ABC，要证得△DBE和△ABC，有一对角相等，要证两个三角形相似，可再找一对角相等，或者找夹这个角的两边对应成比例．从已知条件中可得△CBE∽△ABD，这样既有相等的角，又有成比例的线段，问题就可以得到解决．
证明：在△CBE和△ABD中，∠CBE＝∠ABD，∠BCE＝∠BAD，
∴△CBE∽△ABD，
∴＝，即＝.
∵∠CBE＝∠ABD，
∴∠DBE＝∠ABC.
又∵＝，
∴△DBE∽△ABC.
◆活动4　随堂练习
1．如果一个直角三角形的两条边长分别是6和8，另一个与它相似的直角三角形边长分别是3和4及x，那么x的值(B)
A．只有1个 B．可以有2个
C．有2个以上但有限 D．有无数个
2．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝60°，D是AC上一点，DE⊥AB于E，且CD＝2，DE＝1，则BC的长为____．
3．如图，在△ABC中，∠ABC＝80°，∠BAC＝40°，AB的垂直平分线分别与AC，AB交于点D，E，连接BD.求证：△ABC∽△BDC.
证明：∵DE是AB的垂直平分线，
∴AD＝BD.
∴∠ABD＝∠BAC＝40°.
∵∠ABC＝80°，
∴∠DBC＝40°.
∴∠DBC＝∠BAC.
∵∠C＝∠C，
∴△ABC∽△BDC.
4．如图，在等边三角形ABC中，D，E，F分别是三边上的点，AE＝BF＝CD，△ABC与△DEF相似吗？请证明．
解：△ABC∽△DEF.
证明如下：∵△ABC是等边三角形，
∴∠A＝∠B＝∠C＝60°.
∵AE＝CD＝BF，
∴AF＝BD＝CE.
∴△EAF≌△FBD≌△DCE(SAS).
∴EF＝DF＝DE.
即△DEF是等边三角形．
又∵△ABC是等边三角形，
∴△ABC∽△DEF.
◆活动5　课堂小结与作业
学生活动：你这节课的主要收获是什么？还有什么疑惑？
教学说明：掌握相似三角形判定定理的证明，并会灵活运用判定定理解决数学问题．
作业：课本P102习题4.9中的T2、T3、T4.
通过本节课的学习，加强了对学生能力的培养与训练，但在一些综合应用的题目中，学生感到有一定的难度，所以要在实际应用时，尽量开阔学生的思维，多鼓励学生用多种方法解题．

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