资源简介

第4课时　黄金分割
●归纳导入　如图，学生以手中的标准五角星为操作材料，进行小组合作探究活动．
(1)从图中找出相等的角、相等的线段．
(2)在图中找出两对相似比不同的相似三角形．
小亮认为，＝，＝.你同意他的看法吗？
(3)黄金分割的意义：如图，点C把线段AB分成两条线段AC和BC，如果__＝__，那么称线段AB被点C黄金分割，其中点C叫做线段AB的__黄金分割点__，AC与AB的比叫做__黄金比__，近似数为__0.618__．
(4)你能找出五角星图中有哪几个黄金分割点吗？
【教学与建议】教学：利用五角星，动手操作及量一量活动，探究黄金分割的定义．建议：学生通过探究活动，亲历知识的形成过程．
●情景导入　生活中有很多优美的图画和建筑物，例如：古埃及胡夫金字塔，这些金字塔底面的边长与高之比都接近于0.618.“蒙娜丽莎的微笑”的魅力所在是画面中处处有黄金分割．为什么翩翩起舞的芭蕾舞演员要踮起脚？为什么身材苗条的时装模特还要穿高跟鞋？为什么她们会给人感到和谐、平衡、舒适、美的感觉？它们都用到了黄金分割原理．
【教学与建议】教学：用这些来源于生活的美丽图片吸引学生的注意力，在好奇的环境中产生探索黄金分割特征的兴趣．建议：可以让学生寻找身边的黄金分割图形，以便理解黄金分割的特征．
命题角度1　理解黄金分割的定义
要说明一个点是某线段的黄金分割点，可以证明这个点把原线段分成的两部分满足“较长比整体等于较短比较长”，也可证明这个点把原线段分成的长短两部分满足“较短比较长等于”．
【例1】(1)已知点C是线段AB的黄金分割点，且AC>BC，则下列等式成立的是(C)
A．AB2＝AC·CB B．CB2＝AC·AB
C．AC2＝CB·AB D．AC2＝2AB·BC
(2)已知点C是线段AB的一个黄金分割点，则AC∶AB为(D)
A． B．
C． D．或
命题角度2　利用黄金分割的性质解决实际问题
将现实中的问题转移到数学问题中，借助黄金分割的性质来解决相关计算问题．
【例2】(1)小明同学发现自己的一本书的宽与长之比为黄金比．已知这本书的长为20 cm，则它的宽约为(A)
A．12.36 cm B．13.6 cm C．32.36 cm D．7.64 cm
(2)电视节目主持人在主持节目时，站在舞台的黄金分割点处最自然得体．如图，若舞台AB的长为20 m，则主持人应走到离A点至少__7.6__m处，如果他向B点再走__4.8__m，也处在比较得体的位置．(精确到0.1 m)
命题角度3　利用黄金矩形求边长
在黄金矩形中剪下最大的正方形后，剩下的矩形仍是黄金矩形，根据相似多边形的对应边成比例求解．
【例3】如图，一般书本的纸张是原纸张多次对开得到的，矩形ABCD沿EF对开后，再把矩形EFCD沿MN对开，依此类推．若各种开本的矩形都相似，那么等于(B)
A．0.618 B． C． D．2
高效课堂　教学设计
1．知道黄金分割的定义，会找一条线段的黄金分割点．
2．会判断某一点是不是一条线段的黄金分割点．
3．能对黄金分割进行简单应用．
▲重点
找一条线段的黄金分割点．
▲难点
黄金分割的应用．
◆活动1　创设情境　导入新课(课件)
展示课件：
神奇的金字塔建筑
美丽的大自然摄影
迷人的芭蕾舞
现实生活中存在许多优美的图画和建筑，例如古埃及金字塔、大自然摄影、芭蕾舞，这些图形的边长之间的比都接近某一个数，你知道这个数是多少吗？
◆活动2　实践探究　交流新知
【探究1】
如图，动手量一量，五角星图案中，线段AC，BC的长度，再计算与的值，你有什么发现？
解：＝.
【探究2】
一般地，点C把线段AB分成两条线段AC和BC，如果＝，那么称线段AB被点C黄金分割，点__C__叫做线段__AB__的黄金分割点，__AC__与__AB__的比叫做黄金比．
【探究3】一条线段有几个黄金分割点，黄金分割时，黄金比＝，所以一条线段有__两__个黄金分割点．
◆活动3　开放训练　应用举例
例1　(教材P96例4)根据上图，计算黄金比．
【方法指导】黄金分割的定义．
解：由＝，得AC2＝AB·BC.
设AB＝1，AC＝x，则BC＝1－x.
∴x2＝1×(1－x)，
即x2＋x－1＝0.解这个方程，得x1＝，x2＝(不合题意，舍去).所以黄金比＝≈0.618.
例2　如何找到一条线段的黄金分割点？
已知线段AB，按照如下方法画图：
(1)经过点B作BD⊥AB，使BD＝AB；
(2)连接DA，在DA上截取DE＝DB；
(3)在AB上截取AC＝AE，则点C就是线段AB的黄金分割点．
提出问题：为什么点C为线段AB的黄金分割点？
【方法指导】设AB＝2，分别求出AC和BC的长，并计算和的值．
解：AB＝2，则BD＝DE＝AB＝1.
∴AD＝＝，∴AC＝AE＝AD－DE＝－1，
∴BC＝AB－AC＝2－(－1)＝3－，
∴AC2＝(－1)2＝6－2，AB·BC＝2×(3－)＝6－2.
∴AC2＝AB·BC，即＝.
∴点C是线段AB的黄金分割点．
例3　在人体躯干与身高的比例上，肚脐是理想的黄金分割点，即比值越接近0.618越给人以美感．小明的妈妈脚底到肚脐的长度与身高的比为0.60，她的身高为1.60 m，她应该穿多高的高跟鞋看起来会更美？
【方法指导】想要看起来更美，则鞋底到肚脐的长度与身高之比应为黄金比，此题应根据已知条件求出肚脐到脚底的距离，再求高跟鞋的高度．
解：设肚脐到脚底的距离为x m，根据题意，得＝0.60，解得x＝0.96.
设穿上y m高的高跟鞋看起来会更美，则＝0.618.
解得y≈0.075，而0.075 m＝7.5 cm.
故她应该穿约为7.5 cm高的高跟鞋看起来会更美．
◆活动4　随堂练习
1．点C把线段AB分成两条线段AC和BC，如果＝，那么下列说法错误的是(D)
A．线段AB被点C黄金分割 B．点C叫做AB的黄金分割点
C．AC与AB的比叫做黄金比 D．AC＝BC
2．小明同学发现自己一本书的宽与长的比为黄金比．已知这本书的长为10 cm，则它的宽约为(A)
A．6.18 cm B．6.80 cm
C．16.18 cm D．3.82 cm
3．如图，扇子的圆心角为α，余下扇形的圆心角为β，α与β的比通常用黄金比来设计，这样的扇子造型美观，若取黄金比为0.6，则α＝__135°__．
4．以长为2的线段AB为边作正方形ABCD，取AD的中点E，连接EB，延长DA到点F，使EF＝EB.以线段AF为边作正方形AFGH，点H在AB上，如图所示．
(1)求线段AH，BH的长；
(2)求证：AH2＝AB·BH；
(3)根据(2)中的结论，你能找出图中的黄金分割点吗？
解：(1)E为AD的中点，∴AE＝1.
在Rt△AEB中，由勾股定理，得BE2＝AE2＋AB2＝12＋22.
∴BE＝，∴EF＝BE＝.
∴AF＝－1.
∵四边形AFGH是正方形，
∴AH＝AF＝－1，
∴BH＝AB－AH＝2－(－1)＝3－；
(2)AH2＝(－1)2＝6－2，AB·BH＝2×(3－)＝6－2，
∴AH2＝AB·BH；
(3)H是线段AB的黄金分割点．
◆活动5　课堂小结与作业
学生活动：什么是黄金分割，黄金比是什么？
教学说明：黄金分割在现实生活中是一种应用美，会制作黄金分割图形．
作业：课本P98习题4.8中的T1、T3、T4.
经历黄金分割的引入及黄金分割点的探究过程，通过问题情境的创设和解决过程，体会黄金分割的文化价值，在应用中进一步理解相关内容，在实际操作、思考、交流等过程中增强学生的实践意识和自信心．感受数学与生活的紧密联系，体会数学的思维方式，提高数学学习的兴趣．

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