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第四章　图形的相似
1　成比例线段
第1课时　线段的比与成比例线段
●情景导入　同学们，色彩斑斓的世界中有许多美丽的图形，它们有的形状、大小都相同，这就是我们前面学过的全等形(如图①)；有的只有形状相同，这就是相似图形(如图②)．你知道如何刻画图形的相似吗？你知道如何判定两个三角形相似吗？你知道如何将一个图形放大或缩小吗？从今天开始，我们进入第四章的学习．
【教学与建议】教学：展示生活中的图片，引入本章的学习内容——图形的相似，初步感知相似图形．建议：学生观看生活中存在的全等形及相似图形，也可以让学生寻找身边形状相同的图形，以便理解相似图形的特点．
●悬念激趣　(1)请从下图中找出形状相同的图形．这些形状相同的图形有什么不同？
【归纳】形状相同，大小不同的图形叫做相似图形．
(2)相似的两个图形有什么主要特征呢？为了探究相似图形的特征，今天这节课，我们先学习成比例线段．
【教学与建议】教学：以形状相同的图形为背景，从识别相同到寻找不同，导入课题．建议：学生先自主观察这些图形的特点，然后在小组内交流自己的看法．
命题角度1　利用比例尺计算实际距离
已知比例尺与图上长度(或实际长度)，就能求出实际长度(或图上长度)．
【例1】在比例尺为1∶300的地图上，测得A，B两地间的图上距离为3.5 cm，则A，B两地间的实际距离为__10.5__m.
命题角度2　利用矩形折叠求线段的比
矩形的折叠，主要是通过折叠图形构造轴对称图形来解决问题．
【例2】如图，将矩形ABCD沿CE向上折叠，使点B落在AD边上的点F处，若AE＝BE，则长AD与宽AB的比值是____．
命题角度3　判断成比例线段
成比例线段是指在四条线段a，b，c，d中，如果a与b的比等于c与d的比，即＝，那么这四条线段a，b，c，d叫做成比例线段．
【例3】(1)下列四组线段中，是成比例线段的是(C)
A．3 cm，4 cm，5 cm，6 cm B．4 cm，8 cm，3 cm，5 cm
C．5 cm，15 cm，2 cm，6 cm D．8 cm，4 cm，1 cm，3 cm
(2)已知四条线段8 cm，x cm，4 cm，5 cm是成比例线段，则x＝__10__．
命题角度4　利用比例的基本性质求线段的比
利用比例的基本性质把比例式化为等积式，或把等积式化为比例式．
【例4】(1)如果ab＝cd(a，b，c，d都不等于0)，那么下列比例式中错误的是(C)
A．＝ B．＝ C．＝ D．＝
(2)若2x－5y＝0，则x∶y＝____．
命题角度5　比例的基本性质的运用
运用比例的基本性质解决实际问题，一般设未知数为x，将比例的每种情况列举出来后求出x.
【例5】(1)已知三条线段的长分别为2，4，8，请你再添上一条线段，使它们成比例，符合条件的线段长为__1，4，16__．
(2)已知三个数1，2，，请你添上一个数，使它们构成一个比例式，则这个数可以是__2或或__．
高效课堂　教学设计
1．通过简单实例了解两条线段的比的概念，会计算两条线段的比．
2．了解比例的基本性质及其简单应用．
▲重点
理解成比例线段的概念及其求解．
▲难点
了解比例的基本性质及其简单应用．
◆活动1　创设情境　导入新课(课件)
请在下面图形中找出形状相同的图形，你发现这些形状相同的图形有什么不同？
它们大小不同，是因为图上对应的线段长度不同．
◆活动2　实践探究　交流新知
【探究1】
如果选用同一个长度单位量得两条线段AB，CD的长度分别是m，n，那么这两条线段的比(ratio)就是它们长度的比，即AB∶CD＝m∶n，或写成＝.其中，线段AB，CD分别叫做这个线段比的前项和后项．如果把表示成比值k，那么＝k，或AB＝k·CD.两条线段的比实际上就是两个数的比．
如图，五边形ABCDE与五边形A′B′C′D′E′形状相同，AB＝5 cm，A′B′＝3 cm，AB∶A′B′＝5∶3，就是线段AB与线段A′B′的比，这个比值刻画了这两个五边形的大小关系．
想一想：两条线段长度的比与所采用的长度单位有没有关系？
归纳：求线段的比，首先要检查单位是否一致．
【探究2】
如果a，b，c，d四个数成比例，即＝，那么ad＝bc吗？反过来，如果ad＝bc(a，b，c，d都不等于0)，那么a，b，c，d四个数成比例吗？与同伴交流．
学生可能出现的解决方案：
1．等式＝两边同时乘bd.
2．设＝＝k，则a＝bk，c＝dk，因此ad＝(bk)d＝bc.
3．反过来，等式ad＝bc两边同时除以bd可以得到＝.
归纳：比例的基本性质是内项之积等于外项之积．
【探究3】
如图，设小方格的边长为1，四边形ABCD与四边形EFGH的顶点都在格点上，那么AB，AD，EF，EH的长度分别是多少？分别计算，，，的值，你发现了什么？
归纳：四条线段a，b，c，d中，如果a与b的比等于c与d的比，即＝，那么这四条线段a，b，c，d叫做成比例线段，简称比例线段．
◆活动3　开放训练　应用举例
例1　(教材P78例1)如图，一块矩形绸布的长AB＝a m，宽AD＝1 m，按照图中所示的方式将它裁成相同的三面矩形彩旗，且使裁出的每面彩旗的宽与长的比与原绸布的宽与长的比相同，即＝，那么a的值应当是多少？
【方法指导】成比例线段的应用．
解：根据题意可知，AB＝a m，AE＝a m，AD＝1 m．由＝，得＝，即a2＝1，∴a2＝3.
开平方，得a＝(a＝－舍去).
例2　在比例尺为1∶200的地图上，测得A，B两地间的图上距离为4.5 cm，求A，B两地间的实际距离．
【方法指导】利用比例尺的定义，即“比例尺＝”，列出等量关系式．
解：设A，B两地间的实际距离为x cm，则＝.解得x＝900.答：A，B两地间的实际距离为900 cm.
◆活动4　随堂练习
1．一条线段的长度是另一条线段的5倍，则这两条线段的比为__5∶1__．
2．已知5x＝6y，则＝____．
3．已知四条线段a，b，c，d的长度，试判断它们是否成比例？
(1)a＝8 cm，b＝4 cm，c＝3 cm，d＝6 cm；
(2)a＝8 cm，b＝5 cm，c＝6 cm，d＝10 cm.
解：(1)＝2，＝2，则＝，∴a，b，d，c成比例；
(2)由已知得ab≠cd，ac≠bd，ad≠bc，∴a，b，c，d四条线段不成比例．
◆活动5　课堂小结与作业
学生活动：你这节课的收获是什么？
教学说明：掌握线段的比和成比例线段，正确运用比例的基本性质解决数学问题．
作业：课本P79习题4.1中的T1、T2.
本节课通过生活中常见的图形，由熟悉的全等到相似，再通过身边的线段——身高引入线段的比，让学生自然而然地进入本节课的学习，并能理解两条线段长度的比与所采用的长度单位无关，但要采用同一个长度单位．
在探究线段的比的同时紧扣生活，让学生在解决身边的具体问题的过程中更好地理解所学知识．

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