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第2课时　平面直角坐标系中的位似变换
●情景导入　如图，已知点A(0，3)，B(2，0)是平面直角坐标系内的两点，连接AB.
(1)将线段AB向左平移3个单位长度得到线段A1B1，画出图形，并写出点A1，B1的坐标．
(2)作出线段AB关于y轴对称的线段A2B2，并写出点A2，B2的坐标．
(3)将线段AB绕原点O旋转180°得到线段A3B3，画出图形，并写出点A3，B3的坐标．
(4)以原点O为位似中心，位似比为，把线段AB缩小，得到线段A4B4，请在图中画出线段A4B4，写出点A4，B4的坐标．观察对应点的坐标的变化，你有什么发现？
【教学与建议】教学：能让学生在活动中形成自主学习的良好学习习惯，注意引导学生总结，为新课的学习做好铺垫．建议：首先让学生写出各对应点的坐标，再画出线段，归纳坐标的变化规律．
●置疑导入　我们上节课学习了位似图形，常会看到一些这样的图片：
观察以上图形，回答下列问题：
(1)什么是位似图形？
(2)如何判断两个图形是否位似？
(3)怎样求两个位似图形的相似比？
(4)如何将画在纸上的一个图形放大，使放大前后对应线段的比为1∶2？你有哪些方法？
【教学与建议】教学：回顾位似图形的相关问题，为新课的学习做好铺垫．建议：提出问题，要给学生足够的思考和交流时间．
命题角度1　利用位似图形的性质求点的坐标
利用位似图形的性质可以成比例地放大或缩小一个图形，根据位似图形的性质确定点的坐标．
【例1】(1)已知线段AB两端点的坐标分别为A(6，6)，B(8，2)，以原点O为位似中心，在第一象限内将线段AB缩小为原来的，得到对应线段A′B′，则点A′的坐标为(A)
A．(3，3) B．(4，1) C．(3，6) D．(6，3)
(2)已知在平面直角坐标系中，△AOB的顶点分别为A(2，1)，B(2，0)，O(0，0).若以原点O为位似中心，相似比为2，将△AOB放大，则点A的对应点的坐标为__(4，2)或(－4，－2)__．
命题角度2　利用位似图形的性质画图并解决问题
利用位似图形的相似比得出对应点横、纵坐标的关系是解题关键．
【例2】如图，在网格图中，已知△ABC和点M(1，2).
(1)以点M为位似中心，画出△ABC的位似图形△A′B′C′，使△A′B′C′与△ABC的相似比为2∶1；
(2)写出△A′B′C′各顶点的坐标．
解：(1)如图，△A′B′C′即为所求；
(2)A′(3，6)，B′(5，2)，C′(11，4).
高效课堂　教学设计
1．理解位似图形的定义，会利用坐标变化将一个图形放大或缩小．
2．理解平移、轴对称、旋转和位似四种变换的性质，按要求画出经变换后的图形．
▲重点
通过探究得到平面直角坐标系中多边形坐标变化与其位似图形的关系，并能应用该结论将一个多边形进行图案设计．
▲难点
体会用图形的坐标变化表示图形位似变换的变化规律．
◆活动1　创设情境　导入新课(课件)
(课件出示)如图，已知点A(0，3)，B(2，0)是平面直角坐标系内的两点，连接AB.
(1)将线段AB向左平移2个单位长度得到线段A1B1，画出图形，并写出点A1，B1的坐标；
(2)作出线段AB关于y轴对称的线段A2B2，并写出点A2，B2的坐标；
(3)将线段AB绕原点O旋转180°得到线段A3B3，画出图形，并写出点A3，B3的坐标；
(4)以原点O为位似中心，位似比为，把线段AB缩小，得到线段A4B4，请在图中画出线段A4B4，写出点A4，B4的坐标．观察对应点坐标的变化，你有什么发现？
解：图略．(1)A1(－2，3)，B1(0，0)；
(2)A2(0，3)，B2(－2，0)；
(3)A3(0，－3)，B3(－2，0)；
(4)A4(0，1.5)，B4(1，0)；点A，B的横、纵坐标都乘得到点A4，B4的横、纵坐标．
◆活动2　实践探究　交流新知
【探究1】
如图，在平面直角坐标系中，△OAB三个顶点的坐标分别为O(0，0)，A(3，0)，B(2，3).
(1)将点O，A，B的横、纵坐标都乘2，得到三个点，以这三个点为顶点的三角形与△OAB位似吗？如果位似，指出位似中心和相似比．
(2)如果将点O，A，B的横坐标、纵坐标都乘－2呢？
解：(1)位似，位似中心是__点O__，相似比是__2∶1__；
(2)位似，位似中心是__点O__，相似比是__2∶1__.
归纳：在平面直角坐标系中，将一个三角形每个顶点的横坐标、纵坐标都乘同一个数k(k≠0)，所得的图形与原图形__位似__，位似中心是__坐标原点__，它们的相似比为__|k|__．
【探究2】
(1)如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD的顶点坐标分别为A(4，2)，B(8，6)，C(6，10)，D(－2，6).将点A，B，C，D的横坐标、纵坐标都乘，得到四个点，以这四个点为顶点的四边形与四边形ABCD位似吗？如果位似，指出位似中心和相似比；
(2)如果将点A，B，C，D的横坐标、纵坐标都乘－呢？
(3)通过前面的探究，你发现了什么？
1．请同学们自己完成问题(1).
2．让学生动手在直角坐标系中完成问题(2)，判断两个多边形是否为位似图形，并求出位似中心和相似比．
3．将较好的学生作图进行展示，并由学生说明作图的步骤和判断方法．
归纳：在平面直角坐标系中，将一个多边形每个顶点的横坐标、纵坐标都乘同一个数k(k≠0)，所对应的图形与原图形位似，位似中心是坐标原点，它们的相似比为|k|.
◆活动3　开放训练　应用举例
例1　(教材P117例2)在平面直角坐标系中，四边形OABC的顶点坐标分别是O(0，0)，A(6，0)，B(3，6)，C(－3，3).以原点O为位似中心画一个四边形，使它与四边形OABC位似，且相似比是2∶3.
【方法指导】画出四边形与四边形OABC的相似比是2∶3，把原四边形的每个顶点的横纵坐标都乘或乘－.
画图略．
解：画法一，将四边形OABC各边顶点的坐标都乘，得O(0，0)，A′(4，0)，B′(2，4)，C′(－2，2)；在平面直角坐标系中描出点A′，B′，C′，用线段顺次连接点O，A′，B′，C′，O，则四边形OA′B′C′就是符合要求的四边形；
画法二：将四边形OABC各顶点的坐标都乘－，得O(0，0)，A″(－4，0)，B″(－2，－4)，C″(2，－2)，在平面直角坐标系中描出点A″，B″，C″，用线段顺次连接点O，A″，B″，C″，O，则四边形OA″B″C″也是符合要求的四边形．
例2　如图，在平面直角坐标系中，A(1，2)，B(2，4)，C(4，5)，D(3，1)围成四边形ABCD，作出一个四边形ABCD的位似图形，使得新图形与原图形对应线段的比为2∶1，位似中心是坐标原点．
【方法指导】以坐标原点O为位似中心的两个位似图形，一种可能是位似图形在位似中心同侧，此时各顶点的坐标比为2；另一种可能是位似图形在位似中心的两侧，此时各顶点的坐标比为－2，此题作出一个即可．
解：如图，利用位似变换中对应点的坐标的变换规律，分别取A′(2，4)，B′(4，8)，C′(8，10)，D′(6，2)，顺次连接A′B′，B′C′，C′D′，D′A′，则四边形A′B′C′D′就是四边形ABCD的一个位似图形．
◆活动4　随堂练习
1．在平面直角坐标系中，四边形OABC的顶点坐标分别是O(0，0)，A(3，0)，B(4，4)，C(－2，3)，四边形O1A1B1C1是以点O为位似中心且与四边形OABC的相似比是2∶1，点O1，A1，B1，C1的坐标分别是__O1(0，0)，A1(6，0)或(－6，0)，B1(8，8)或(－8，－8)，C1(－4，6)或(4，－6)__．
2．△ABC的三个顶点坐标分别为A(2，2)，B(4，2)，C(6，4)，以原点为位似中心，将△ABC缩小后得到的△DEF与△ABC对应边的比为1∶2，且两个三角形在位似中心的同侧，则△DEF各顶点的坐标分别为__D(1，1)，E(2，1)，F(3，2)__．
◆活动5　课堂小结与作业
学生活动：你这节课的主要收获是什么？还有什么疑惑？
教学说明：学生动手画图观察、归纳得出结论，树立学生学习数学的自信心．
作业：课本P118习题4.14中的T1、T2、T3、T4.
本节课中，让学生自己通过观察、动手操作的方法画出放大或缩小后的图形，向学生提供充分从事数学活动的机会，帮助他们在自主探究和合作交流的过程中真正理解和掌握基本的数学知识与技能、数学思想和方法，获得广泛的数学活动经验．

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