资源简介

第2课时　相似三角形的周长比和面积比
●置疑导入　如图，在比例尺为1∶400的地图上，测得一个三角形地块的周长为18 cm，面积为9 cm2，求这个地块的实际周长及面积．
问题1　在这个情境中，地图上的三角形地块与实际地块是什么关系？1∶400表示什么含义？
问题2　要解决这个问题，需要什么知识？
问题3　你能对这个地块的实际周长与面积作出估计吗？
问题4　如何说明你的猜想是否正确呢？
【教学与建议】教学：在一个开放的环境中，亲身经历和感受数学知识来源于生活中的过程．建议：小组交流、总结．
●类比导入　复习比例线段的性质(基本性质、合比性质、等比性质)：
(1)如果＝，那么＝____，＝____．
(2)如果＝＝＝，那么＝____．
(3)在四边形ABCD和四边形EFGH中，已知＝＝＝＝，四边形ABCD的周长是32 cm，则四边形EFGH的周长是__40__cm__．
【教学与建议】教学：通过复习比例的性质，让学生感受多边形的周长比与相似比的关系．建议：让学生动手、动脑，探究相似图形周长之比与相似比之间的关系．
●悬念激趣　某城区施工队在道路拓宽施工时遇到这样一个问题：马路旁边原有一个面积为80 m2、周长为60 m的三角形绿化地，由于马路拓宽，绿化地被削去了一个角，变成了一个梯形．如图，原绿化地一边AB的长由原来的16 m缩短成9 m，则被削去部分的面积有多大？它的周长是多少？
【教学与建议】教学：联系生活实际，设置悬念，从而激发学生的求知欲．建议：在学生操作时，教师要引导学生进行思考、分析．
命题角度1　利用相似三角形的性质求周长比
相似三角形的周长比等于相似比．
【例1】(1)若△ABC的周长为20 cm，点D，E，F分别是△ABC三边的中点，则△DEF的周长为(B)
A．5 cm B．10 cm C．15 cm D． cm
(2)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，CD⊥AB于点D，则△BCD与△ABC的周长之比为__1∶2__．
命题角度2　利用相似三角形的性质求面积比
相似三角形的面积比等于相似比的平方．
【例2】(1)若△ABC∽△A′B′C′，相似比为1∶3，则△ABC与△A′B′C′的面积比为(C)
A．1∶3 B．3∶1 C．1∶9 D．9∶1
(2)如图，在梯形ABCD中，∠ABC＝∠DCB，AD∥BC，且AD＝BC，E为AD上一点，AC与BE交于点F.若AE∶DE＝2∶1，则＝____．
命题角度3　利用相似三角形的性质求对应线段的比
逆用相似图形的周长比或面积比求对应线段的比．
【例3】(1)已知△ABC∽△DEF，且周长之比为1∶9，则△ABC与△DEF对应边上的高之比为(B)
A．1∶3 B．1∶9 C．1∶18 D．1∶81
(2)如图，平行于BC的直线DE把△ABC分成S△ADE∶S四边形DBCE＝1∶2的两部分，则＝____．
高效课堂　教学设计
1．理解并掌握相似三角形的周长比及面积比与相似比的关系．
2．相似三角形的灵活运用．
▲重点
理解相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方．
▲难点
相似三角形性质的运用．
◆活动1　创设情境　导入新课(课件)
问题1：己经学过的相似三角形的性质有哪些？
①相似三角形的对应角相等，对应边成比例．
②相似三角形对应线段的比等于相似比．
问题2：相似三角形的周长比、面积比与相似比有什么关系？
◆活动2　实践探究　交流新知
【探究1】
(1)请大家在图中的6×6方格(方格的边长均为单位1)上，画出一个与△ABC相似，且相似比不是1的格点三角形A′B′C′.
(2)请同学们分别计算图中两个三角形的相似比、周长比及面积比；归纳总结相似三角形的周长比、面积比分别与相似比有什么关系．
归纳：相似三角形的周长比等于__相似比__，面积比等于__相似比的平方__．
(3)想一想：①如果△ABC∽△A′B′C′，相似比为2，那么△ABC与△A′B′C′的周长比是多少？面积比呢？②如果△ABC∽△A′B′C′，且相似比为k，那么你能求△ABC与△A′B′C′的周长比和面积比吗？
解：①△ABC与△A′B′C′的周长比是2∶1，面积比是4∶1；②△ABC与△A′B′C′的周长比是k∶1，面积比是k2∶1.
【探究2】如图，四边形ABCD∽四边形A′B′C′D′，其相似比为k，试回答下面问题：
(1)四边形ABCD与四边形A′B′C′D′的周长比是__k∶1__．
(2)四边形ABCD与四边形A′B′C′D′的面积比是__k2∶1__．
归纳：相似多边形的周长比等于__相似比__，面积比等于__相似比的平方__．
◆活动3　开放训练　应用举例
例1　(教材P110例2)如图，将△ABC沿BC方向平移得到△DEF，△ABC与△DEF重叠部分(图中阴影部分)的面积是△ABC的面积的一半．已知BC＝2，求△ABC平移的距离．
【方法指导】相似三角形的判定及相似三角形的面积比等于相似比的平方的应用．
解：根据题意，可知EG∥AB，
∴∠GEC＝∠B，∠EGC＝∠A，
∴△GEC∽△ABC(两角分别相等的两个三角形相似).
∴＝＝(相似三角形的面积比等于相似比的平方)，
即＝.
∴EC2＝2.∴EC＝，
∴BE＝BC－EC＝2－，
即△ABC平移的距离为2－.
例2　(1)已知＝＝，且3x＋4z－2y＝40，求x，y，z的值；
(2)已知两相似三角形对应高的比为3∶10，且这两个三角形的周长之差为560 cm，求它们的周长．
【方法指导】(1)用同一个字母k表示出x，y，z，再根据已知条件列方程求得k的值，从而进行求解；(2)根据相似三角形周长的比等于对应高的比，求得周长比，再根据周长之差进行求解．
解：(1)设＝＝＝k，那么x＝2k，y＝3k，z＝5k，由于3x＋4z－2y＝40，∴6k＋20k－6k＝40，∴k＝2，∴x＝4，y＝6，z＝10；
(2)设一个三角形周长为C cm，则另一个三角形周长为(C＋560)cm，则＝，∴C＝240，则C＋560＝800，即它们的周长分别为240 cm，800 cm.
◆活动4　随堂练习
1．在△ABC和△DEF中，AB＝2DE，AC＝2DF，∠A＝∠D，如果△ABC的周长是16，面积是12，那么△DEF的周长、面积依次为(A)
A．8，3 B．8，6 C．4，3 D．4，6
2．把一个三角形改做成和它相似的三角形，如果面积缩小到原来的，那么边长应缩小到原来的____．
3．如图，在△ABC中，BC＞AC，点D在BC上，且DC＝AC，∠ACB的平分线CF交AD于点F，点E是AB的中点，连接EF.若四边形BDFE的面积为6，求△ABD的面积．
解：∵CF平分∠ACB，DC＝AC，
∴CF是△ACD的中线，即F是AD的中点．
∵点E是AB的中点，
∴EF∥BD，且＝，
∴∠B＝∠AEF，∠ADB＝∠AFE，
∴△AEF∽△ABD.
∴＝＝.
∵S△AEF＝S△ABD－S四边形BDFE＝S△ABD－6，
∴＝.
∴SABD＝8，即△ABD的面积为8.
◆活动5　课堂小结与作业
学生活动：这节课的主要收获是什么？相似三角形的周长比和面积比与它们的相似比有什么关系？
教学说明：培养学生的观察能力和分析能力，理解为什么相似三角形的面积比等于相似比的平方．
作业：课本P110习题4.12中的T1、T4、T5、T6.
本节课以学生的自主探究为主线，在猜想、证明相似三角形和相似多边形的性质时，也遵循学生的认知规律，循序渐进，易于学生理解．
通过思考、探究、讨论，让学生切身感受到自己是学习的主人，为学生今后获取知识、探索发现和创造打下了良好的基础．

展开更多......

收起↑