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8　图形的位似
第1课时　位似图形的性质与位似作图
●置疑导入　问题1：观察下列图形，每一组图形都有什么特点？
问题2：如图(2)，在图片①上取一点A，它与另一张图片(如图片②)上相应的点A′之间的连线是否经过镜头中心点O？在图片上换其他的点试一试，还有类似的规律吗？
问题3：这三组图形有什么共同特点？
【教学与建议】教学：通过用幻灯片展示生活中的图片，引入课题．建议：可以让学生寻找身边类似的一组图形，以便理解位似的特征．
●归纳导入　请同学们观察如图一组图片，思考下列问题：
(1)它们是相似图形吗？
(2)图形位置间有什么关系？你能寻找出一些规律吗？
【归纳】一般地，如果两个相似多边形任意一组对应顶点P，P′所在的直线都经过同一点O，且有OP′＝k·OP(k≠0)，那么这样的两个多边形叫做位似多边形，点O叫做位似中心．
【教学与建议】教学：通过观察图形，发现位似图形来源于相似图形，同时又特殊于相似图形．归纳位似图形的特征．建议：强调位似图形定义的两个关键点：一是特殊的相似；二是每一组对应点所在的直线都经过同一点．
命题角度1　位似图形的判断
位似图形首先是相似图形，对应点到位似中心的距离之比等于相似比，每对对应点所在的直线都相交于同一点．
【例1】(1)下图中的两个图形不是位似图形的是(D)
　　　　　　
(2)两个正方形按如图所示位置摆放，则这两个正方形(B)
A.位似 B．相似
C．不相似 D．既不相似，又不位似
命题角度2　利用位似图形的定义确定位似中心
位似中心是位似图形上对应点所在直线的交点．
【例2】利用位似图形将一个图形放大或缩小时，首先要选取一点作为位似中心，那么位似中心可以在________选取(D)
A．图形外 B．图形内
C．图形的边上 D．以上都可以
命题角度3　利用位似的性质求图形面积
此类问题可以借助“相似多边形的面积比等于相似比的平方”来解决．
【例3】如图，矩形ABCD与矩形AB′C′D′是位似图形，A为位似中心，已知矩形ABCD的周长为24，BB′＝4，DD′＝2，则矩形ABCD的面积为__32__．
命题角度4　利用位似把图形放大或缩小
画位似图形的一般步骤：①确定位似中心；②分别连接并延长位似中心和能代表原图形的关键点；③根据相似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；④顺次连接上述各点，得到放大或缩小后的图形．
【例4】(1)把下面的四边形缩小到原来的.
　　　
解：四边形A′B′C′D′，A″B″C″D″即为所求．
(2)如图，已知△ABC，请你在网格中画出把△ABC以点C为位似中心放大2倍的三角形．
解：如图，△A′CB′，△A″CB″即为所求．
高效课堂　教学设计
1．理解位似多边形的定义及相关性质．
2．理解相似多边形与位似多边形的联系与区别．
3．掌握位似图形的性质，会画位似图形．
▲重点
位似图形的概念及性质．
▲难点
位似图形的画法．
◆活动1　创设情境　导入新课(课件)
1．问题1：观察图形，每一组图形有什么特点？
问题2：如图，在图片①上取一点A，它与另一张图片(如图片②)上相应的点A′之间的连线是否经过镜头中心点O？在图片上换其他的点试一试，还有类似的规律吗？
2．请同学们观察一组图片(如图)，思考下列问题：
①它们是相似图形吗？②图形位置间有什么关系？你能寻找一些规律吗？
这就是我们今天学习的内容：位似图形．
◆活动2　实践探究　交流新知
【探究1】位似多边形的概念
我们来研究一下图中的四边形．如图是两个相似五边形，设直线AA′与BB′相交于点O，那么直线CC′，DD′，EE′是否也都经过点O？，，，，有什么关系？
(1)直线CC′，DD′，EE′都经过__点O__；
(2)每组对应点到O点的距离的比值__相等__．
归纳：如果两个相似多边形任意一组对应顶点P，P′所在的直线都经过同一点O，且有OP′＝k·OP(k≠0)，那么这样的两个多边形叫做位似多边形，点O叫做位似中心．实际上，k就是这两个相似多边形的相似比．
【探究2】利用下面的方法可以近似地将一个图形放大：
1．将两根长短相同的橡皮筋系在一起，联接处形成一个结点．
2．选取一个图形，在图形外取一个定点．
3．将系在一起的橡皮筋的一端固定在定点，把一支铅笔固定在橡皮筋的另一端．
4．拉动铅笔，使两根橡皮筋的结点沿所选图形的边缘运动，当结点在已知图形上运动一圈时，铅笔就画出了一个新的图形．
这个新图形与已知图形形状相同．
请你用这种方法把一个已知图形放大．
【探究3】位似图形的性质(多媒体出示)
请观察下列三组图形，回答问题：
　　
每组图形中的两个图形是否是位似图形？若是位似图形，请找出位似中心．它们的对应边有什么特点？
解：每组图形中的两个图形都是位似图形；对应点所有的直线的交点就是位似中心；它们的对应边平行．
归纳：位似图形是相似图形，对应点所有的直线的交点只有一个，对应边互相平行．
◆活动3　开放训练　应用举例
例1　(教材P113例1)如图，已知△ABC，以点O为位似中心画一个△DEF，使它与△ABC位似，且相似比为2.
【方法指导】(1)确定位似中心；(2)找对应点；(3)连线得到位似图形．
解：如图，画射线OA，OB，OC；在射线OA，OB，OC上分别取点D，E，F，使OD＝2OA，OE＝2OB，OF＝2OC，顺次连接D，E，F，则△DEF与△ABC位似，且相似比为2.
例2　如图，△ABC与△A′B′C′关于点O位似，BO＝3，B′O＝6.
(1)若AC＝5，求A′C′的长；
(2)若△ABC的面积为7，求△A′B′C′的面积．
解：(1)∵△ABC与△A′B′C′是位似图形，位似比为OB∶OB′＝3∶6＝1∶2，∴＝，即＝，∴A′C′＝10；
(2)根据题意，得＝＝，即＝，
∴S△A′B′C′＝7×4＝28.
◆活动4　随堂练习
1．如图，正方形ABCD的两边BC，AB分别在平面直角坐标系的x轴、y轴的正半轴上，正方形A′B′C′D′与正方形ABCD是以AC的中点O′为中心的位似图形，已知AC＝3，若点A′的坐标为(1，2)，则正方形A′B′C′D′与正方形ABCD的相似比是(B)
A． B． C． D．
　
2．如图，火焰的光线穿过小孔O，在竖直的屏幕上形成倒立的实像，像的长度BD＝2 cm，OA＝60 cm，OB＝15 cm，则AC的长度为__8__cm__．
3．课本P114随堂练习．
作图略．
解：连接AO，BO，CO，然后分别延长到D，E，F，使OD＝AO，EO＝BO，FO＝CO，△DEF就是所画的图形，且相似比是.
◆活动5　课堂小结与作业
学生活动：你这节课主要有哪些收获？什么是位似？位似的性质是什么？
教学说明：位似图形必须满足三个条件：①相似；②每组对应点的所在直线都经过同一点；③对应边互相平行．
作业：课本P115习题4.13中的T1、T2、T4.
本节课为学生提供了一个探索的空间，使每个学生得到了实践、体验的机会．因为是自己动手，所以每个同学都在实践活动中亲自体验到利用位似放大或缩小图形的方法．通过学生研究性的学习，整个教学过程基本达到了将知识融入个体的整体体验中的目的．

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