资源简介

第2课时　平行投影
●情景导入　请欣赏下列图片：
我们欣赏的一幅幅美丽图片中的投影现象可以分为两类：一类是在灯光下形成的投影现象，一类是在太阳光线下形成的投影现象．你知道物体在太阳光线下形成的影子与在灯光下形成的影子有什么不同吗？导入课题：平行投影．
【教学与建议】教学：学生在欣赏精美图片的同时，感受到生活中的影子可以分为两类，然后通过问题导入课题．建议：可以让学生自己举例发现两种影子不同点．
●归纳导入　教师课前整理、选择学生资源，多媒体展示，选3～4个小组代表简单介绍，分析成影的光线特点(讲解太阳光线可以看成是平行光线)．通过对分类及标准的过程性加工，使学生明确成影光线是从同一个点发出的投影叫中心投影，成影光线是平行光线的投影叫平行投影．如太阳光线．
【归纳】太阳光线可以看成平行光线，平行光线所形成的投影称为平行投影．平行光线与投影面垂直，这种投影称为正投影．
【教学与建议】教学：通过分类，使学生明晰平行投影和中心投影的本质区别，由此引出本节课研究的问题：平行投影．建议：在上课前一天让学生感受生活中太阳光下的影子，并做好预习．
命题角度1　利用平行投影作图
先根据物体的投影确定光线，然后利用两个物体的顶端和各自影子的顶端的连线是一组平行线，过物体顶端作光线的平行线与投影面相交，从而确定其影子．
【例1】如图，AB和DE是直立在地面上的两根立柱，AB＝5 m，某一时刻AB在阳光下的投影BC＝3 m．请你在图中画出此时DE在阳光下的投影．
解：如图，连接AC，过点D作DF∥AC交直线BC于点F，线段EF即为DE在阳光下的投影．
命题角度2　利用太阳光下的影子求物体的高度
太阳光下，在同一时刻，相距不远的两个物体的高度和影长成正比．
【例2】在测量旗杆高度的活动课中，某小组学生于同一时刻在阳光下对一根直立于平地的竹竿及其影长和旗杆的影长进行了测量，得到的数据如图所示，根据这些数据计算出旗杆的高度为__12__m.
命题角度3　影子上墙问题
影子上墙或上台阶，解决方案有两种，一种是过墙或台阶的底部作阳光的平行线，另一种是过墙上或台阶上影子的顶端作地面的平行线．这两种做法都是把物体分成两部分进行计算．
【例3】兴趣小组的同学要测量树的高度，在阳光下，一名同学测得一根长为1 m的竹竿的影长为0.4 m，同时另一名同学测量树的高度时，发现树的影子不全落在地面上，有一部分落在教学楼的第一级台阶上，测得此影长为0.2 m，一级台阶高为0.3 m，如图．若此时落在地面上的影长为4.4 m，求树的高度．
解：如图，AB表示树高，BD表示树在地上的影长，CE表示树在台阶上的影长，CD为第一级台阶的高，延长EC交AB于F，CE＝0.2 m，CD＝0.3 m，BD＝4.4 m，
易得四边形BDCF为矩形，
∴BF＝CD＝0.3 m，CF＝BD＝4.4 m，∴EF＝CE＋CF＝0.2＋4.4＝4.6(m).
∵＝，∴AF＝＝11.5，∴AB＝AF＋BF＝11.5＋0.3＝11.8(m).
答：树的高度为11.8 m．
高效课堂　教学设计
1．掌握平行投影、正投影的概念，理解平行投影与中心投影的联系与区别．
2．了解不同时刻物体在太阳光下形成的影子的大小和方向是不同的，理解同一时刻物体的影子与它们的高度成正比例．
3．利用平行投影的性质进行计算．
▲重点
平行投影、正投影的概念．
▲难点
立体图形正投影的画法．
◆活动1　创设情境　导入新课(课件)
物体在日光或灯光的照射下会在地面、墙壁等处形成影子，请观察下面三幅图片，感受日常生活中的投影现象．
问题：物体在太阳光下形成的影子与在灯光下形成的影子有什么不同？
　　
◆活动2　实践探究　交流新知
【探究1】平行投影、正投影的概念
观察下图，这三个图分别表示同一块三角尺在光照下形成的投影，其中图(1)与图(2)(3)的投影有什么区别？图(2)(3)的投影线与投影面的位置关系有什么区别？
　　　　
图(1)的投影线集中于一点形成中心投影，图(2)(3)投影线互相平行，可以说明图__(1)__是灯光，图__(2)(3)__是太阳光线．
归纳：(1)灯光是由__一点__发出的，灯光下的影子是__中心投影__，太阳光是__平行光线__；
(2)物体在__平行光线__下形成的投影称为平行投影；
(3)在平行投影中，平行线与投影面__垂直__的光线，称为正投影．图__(3)__是正投影．
【探究2】正投影的作图
1．把一根直的铁丝(记为线段AB)放在三个不同的位置，它们的正投影是什么形状？
(1)铁丝平行于投影面；(2)铁丝倾斜于投影面；(3)铁丝垂直于投影面．
2．把一个正方形纸板(记作ABCD)，放在三个不同的位置，它们的正投影是什么形状？
(1)纸板平行于投影面；(2)纸板倾斜于投影面；(3)纸板垂直于投影面．
归纳：当物体的某个面平行于投影面时，这个面的正投影与这个面的形状、大小完全相同．
【探究3】物体的影子与它们高度之间的关系
阅读课本P129～130，回答问题．
(1)在三个不同时刻，同一棵树的影子长度__不同__，在上午随时间的推移，影子的长度逐渐变__短__；在下午随时间的推移，影子的长度逐渐变__长__，顺序为__丙、乙、甲__．
(2)在同一时刻，大树高度与其影长之比__等于__小树高度与其影长之比．
归纳：在同一时刻，物体的影子与它们的高度成正比例．
◆活动3　开放训练　应用举例
例1　(教材P130例2)某校墙边有甲、乙两根木杆，已知乙木杆的高度为1.5 m.
(1)某一时刻甲木杆在阳光下的影子如图所示．你能画出此时乙木杆的影子吗？
(2)如图，当乙木杆移动到什么位置时，其影子刚好不落在墙上？
(3)在(2)的情形下，如果测得甲、乙木杆的影子长分别为1.24 m和1 m，那么你能求出甲木杆的高度吗？
【方法指导】平行投影的画法及应用．
解：(1)如图，连接DD′，过点E作DD′的平行线，交AD′所在的直线于点E′.BE′就是乙木杆的影子；
(2)如图，平移由乙木杆、乙木杆的影子和太阳光线所构成的图形(即△BEF′)，直到乙木杆影子的顶端E′抵达墙根即可；
(3)因为△ADD′∽△BEE′，所以，＝，即＝，所以，甲木杆的高度为AD＝＝1.86(m).
例2　如图，分别是两棵树及其影子的情形．
(1)哪个图是阳光下的情景？哪个图是路灯下的情景？
(2)你是用什么方法判断的？
　
【方法指导】平行投影与中心投影的区别．
解：(1)第①幅图是阳光下的情景(平行投影)，第②幅图是路灯下的情景(中心投影)；
(2)第①幅图物高与影长成比例，第②幅图不成比例．
例3　下面四幅图是两个物体在不同时刻太阳光下的影子，按照时间的先后顺序正确的是(C)
　　　
A.①②③④ B．③①②④
C．③④①② D．②④③①
【方法指导】太阳从东边升起，影子指向西方，然后影长逐渐变小，过了正午，影子又逐渐变长．
◆活动4　随堂练习
1．以下四幅图中，表示两棵小树在同一时刻阳光下的影子的是(D)
　　 　　 　　
2．如图，AB和DE是直立在地面上的两根立柱，AB＝5 m，某一时刻AB在阳光下的投影BC＝3 m，在测量AB的投影时，同时测量出DE在阳光下的投影长为6 m，则DE的长为__10__m__．
3．如图，木棒AB在投影面P上的正投影为A1B1，且AB＝10 cm，∠BAA1＝120°，试求投影A1B1的长．
解：如图，过点A作AC⊥BB1，垂足为点C.
易得四边形AA1B1C为矩形，
∴∠A1AC＝90°，AC＝A1B1.
∵∠BAA1＝120°，
∴∠BAC＝120°－90°＝30°，
∴在Rt△ABC中，BC＝AB＝5(cm)，
则AC＝＝5(cm).
∴A1B1＝AC＝5 cm.
◆活动5　课堂小结与作业
学生活动：这节课的收获是什么？还有哪些疑惑？
教学说明：掌握平行投影、正投影的概念，并能正确运用于解决问题中．
作业：课本P132随堂练习，习题5.2中的T1、T2.
本节课研究平行投影，让学生体会影子与生活的息息相关，激发学生学习的动机与兴趣，树立正确的数学观．本课时密切联系实际，涉及地理、物理等知识，体现了数学与各学科内容间的联系．让学生积极参加数学活动，认识数学与人类的密切联系及对人类历史发展的作用，激发学生探究与创造，加强学生的合作与交流．

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