资源简介

2　用配方法求解一元二次方程
第1课时　用配方法求解二次项系数为1的一元二次方程
●情景导入　在实际生活中，我们常常会遇到一些问题，需要用一元二次方程来解决．例如：要使一块长方形场地的长比宽多4 m，并且面积为12 m2，则场地的长和宽应各是多少米？
【教学与建议】教学：让学生感受到“生活中处处有数学”，从而激发学生的求知欲．建议：列出方程后用列表法求方程的根，发现工作量大，从而引入课题．
●复习导入　(1)课件出示，下面两个图形各验证了什么公式呢？
(a＋b)2＝__a2＋2ab＋b2__　　(a－b)2＝__a2－2ab＋b2__
(2)填空：x2＋__8x__＋16＝(x＋4)2，x2＋bx＋＝.
(3)思考：你会解一元二次方程x2＋8x＋16＝0吗？
【教学与建议】教学：利用验证完全平方公式常用的图形，引出配方的依据．建议：可以让学生自己表述，其他学生互相补充．
命题角度1　直接开平方法解一元二次方程
方程是x2＝p的形式，那么x＝±；方程是(nx＋m)2＝p(p≥0)的形式，那么nx＋m＝±.
【例1】(1)关于x的一元二次方程x2－9＝0的解是(C)
A．x＝3 B．x＝－3
C．x1＝3，x2＝－3 D．x1＝9，x2＝－9
(2)一元二次方程(x＋6)2＝16可转化为两个一元一次方程，其中一个一元一次方程是x＋6＝4，那么另一个一元一次方程是__x＋6＝－4__．
命题角度2　配方法解二次项系数是1的一元二次方程
当一元二次方程的二次项系数为1时，加上一次项系数一半的平方，将其配成完全平方式，再利用直接开平方法解方程．
【例2】(1)用配方法解一元二次方程x2－4x＝－1时，此方程可变形为(D)
A．(x－2)2＝1 B．(x－2)2＝5
C．(x＋2)2＝3 D．(x－2)2＝3
(2)用配方法解方程：
①x2＋2x－4＝0; ②x2－3x＝.
解：①x1＝－1＋，x2＝－1－；
②x1＝＋，x2＝－.
命题角度3　运用配方法求二次项系数为1的二次三项式的最小值
运用配方法把一个二次项系数为1的二次三项式化为一个完全平方式与一个常数之和的形式，然后可以求得这个二次三项式的最小值．
【例3】(1)对于任意实数x，代数式x2－2x＋3的值一定是(B)
A．非负数 B．正数 C．负数 D．无法确定
(2)将x2－6x－3进行配方变形后，可得该多项式的最小值为__－12__．
高效课堂　教学设计
1．理解配方的意义．
2．会用直接开平方法解形如(x＋m)2＝n(n≥0)的一元二次方程．
▲重点
运用配方法解一元二次方程．
▲难点
了解并掌握用配方法求解一元二次方程．
◆活动1　创设情境　导入新课(课件)
1．课件出示，下面两个图形各验证了什么公式呢？与同伴交流一下．
　
2．在上一节的问题中，梯子底端滑动的距离x(m)满足方程x2＋12x－15＝0，你能求出距离x(m)的精确解吗？你认为解这个方程的困难在哪里？
◆活动2　实践探究　交流新知
【探究1】用直接开平方法解一元二次方程
课件出示做一做：
填上适当的数，使下列等式成立．(选4个学生口答)
x2＋12x＋__36__＝(x＋6)2；
x2－6x＋__9__＝(x－3)2；
x2＋8x＋__16__＝(x＋__4__)2；
x2－4x＋__4__＝(x－__2__)2.
问题：上面等式的左边常数项和一次项系数有什么关系？
解下列方程：
(1)x2－16＝0；　　　(2)3x2－27＝0；
(3)(2y－3)2＝16.
解：(1)x＝__±4__；
(2)两边同除以3得：x2＝__9__，x＝__±3__；
(3)根据平方根定义得2y－3＝__±4__，所以y1＝__－__，y2＝____．
【探究2】用配方法解二次项系数为1的一元二次方程
解方程：x2＋12x－15＝0.
把常数项移到方程的右边，得x2＋12x＝15.
两边都加62，得x2＋12x＋__62__＝15＋__62__，
即(　x＋6　)2＝51，
两边开平方，得x＋6＝±，即x＋6＝或x＋6＝－.
∴x1＝__－6__，x2＝__－－6__．
归纳：通过配成完全平方式的方法得到一元二次方程的根，这种解一元二次方程的方法称为配方法．
解题步骤：一移项，二配方，三求解．
◆活动3　开放训练　应用举例
例1　(教材P37例1)解方程：x2＋8x－9＝0.
【方法指导】先配成完全平方公式，再求出一元二次方程的根．
解：把常数项移到方程右边，得x2＋8x＝9.
两边都加42，得，
x2＋8x＋42＝9＋42.
即(x＋4)2＝25.
两边开平方，得x＋4＝±5，
即x＋4＝5，或x＋4＝－5.
∴x1＝1，x2＝－9.
例2　x2－5x－6＝0.
【方法指导】先配成完全平方公式，再求出一元二次方程的根．
解：把常数项移到方程的右边，得x2－5x＝6，
两边都加，得x2－5x＋＝6＋，
即＝.
两边开平方，得x－＝±，
即x－＝，或x－＝－.
∴x1＝6，x2＝－1.
◆活动4　随堂练习
1．方程4x2＝16的解是(D)
A．x1＝4，x2＝－4 B．x＝4
C．x＝－4 D．x1＝2，x2＝－2
2．把多项式配成完全平方式．
(1)x2＋10x＋__25__＝(x＋__5__)2；
(2)x2＋5x＋____＝(x＋____)2；
(3)x2__±6__x＋9＝(x±3)2.
3．解方程：
(1)x2＋6x＝－7；
解：两边都加32，得x2＋6x＋32＝－7＋32，
即(x＋3)2＝2.
两边开平方，得x＋3＝±，
即x＋3＝，或x＋3＝－.
∴x1＝－3，x2＝－－3；
(2)x2＋2x＝4.
解：两边都加()2，得x2＋2x＋()2＝4＋()2，
即(x＋)2＝6.
两边开平方，得x＋＝±，
即x＋＝，或x＋＝－.
∴x1＝－，x2＝－－.
◆活动5　课堂小结与作业
学生活动：这节课的主要收获是什么？
教学说明：用配方法解一元二次方程，先移项，再配成完全平方公式求解．
作业：课本P37习题2.3中的T1、T2、T3.
本节课在教学中最关键的是让学生掌握配方，配方的对象是含有未知数的二次三项式，其理论依据是完全平方式，配方的方法是通过加上一次项系数一半的平方构成完全平方式．

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