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第二章　一元二次方程
1　认识一元二次方程
●情景导入　根据题意列出方程：
如图，现在要将一块矩形绿地扩大，长、宽各增加x m．若扩大后的绿地的面积为936 m2，求长、宽各增加的长度．
【教学与建议】教学：用来源于学生身边的问题，体会数学来源于生活并服务于生活．建议：可以让学生寻找身边的方程实例，以便理解等量关系．
●归纳导入　如图，有一块矩形铁皮，长100 cm，宽80 cm.在它的四个角各切去一个同样的正方形，然后将四周突出的部分折起，就能制作一个无盖方盒．如果要制作的无盖方盒的底面积是4 800 cm2，那么铁皮各角应切去边长为多少的正方形？
分析：设各角应切去边长为x cm的正方形，则可表示无盖方盒的长是(100－2x)cm，宽是(80－2x)cm.根据题意可得方程：(100－2x)(80－2x)＝4 800.整理，得x2－90x＋800＝0.
【归纳】只含有__一个未知数x__的__整式__方程，并且都可以化成__ax2＋bx＋c＝0(a，b，c为常数，a≠0)__的形式，这样的方程叫做一元二次方程．
【教学与建议】教学：通过图形的变化感受等量关系的确定，归纳出一元二次方程的定义．建议：一元二次方程定义三个关键点：①只含有一个未知数；②整式方程；③未知数的最高次数是2次．
命题角度1　判断一元二次方程
一元二次方程的定义：①只含有一个未知数；②未知数的最高次数是2次；③整式方程．
【例1】(1)下列方程中一定是一元二次方程的是(C)
A．ax2＋bx＋c＝0 B．y2－x＝1
C．x2－1＝0 D．＋x2＝1
(2)下列方程：①3x2＝x－1；②＋x2＝4；③＝1；④(2x－1)(x－2)＝2x2－1；⑤3x2＝2x(x－1).其中是一元二次方程的有__①⑤__．(填序号)
命题角度2　辨识一元二次方程的各项及其系数
先把方程化为一般形式，再确定二次项及其系数、一次项及其系数、常数项．
【例2】(1)写出下列方程的二次项、二次项系数、一次项、一次项系数及常数项．
①3x2－2x＋1＝0；②5x(x－2)＝4x2－3x.
解：①依次是3x2，3，－2x，－2，1；②依次是x2，1，－7x，－7，0.
(2)将方程2(t－2)＝(t＋1)2化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项、二次项系数、一次项、一次项系数及常数项．
解：一般形式为t2＋5＝0，二次项为t2，二次项系数为1，一次项为0，一次项系数为0，常数项为5.
命题角度3　根据一元二次方程的概念求待定字母的值或取值范围
根据一元二次方程中二次项系数不为零，未知数的最高次数是2，求待定字母的值或取值范围．
【例3】(1)若关于x的方程(a－2)xa2－2－2x－5＝0是一元二次方程，则(D)
A．a＝ B．a＝± C．a＝2 D．a＝－2
(2)当实数m满足条件__m≠－4__时，(m＋4)x2－mx＋1＝0是关于x的一元二次方程．
命题角度4　一元二次方程的应用问题
找准等量关系，利用一元二次方程来解决实际问题．
【例4】(1)今年某市计划扩大城区绿地面积，现有一块长方形绿地，它的短边长为40 m，若将短边增长到与长边相等(长边不变)，使扩大后的绿地的形状是正方形，且面积比原来增加500 m2.设原来绿地的长边为x m，则可列方程为(A)
A．x2－40x＝500 B．x2＋40x＝500
C．(x－40)2＝500 D．x2－1 600＝500
(2)已知三个连续奇数的平方和是371，设第二个奇数为x，则依题意可得到的方程是__(x－2)2＋x2＋(x＋2)2＝371__．
命题角度5　一元二次方程的根
这类题目一般先把方程的根代入方程再求字母或代数式的值．
【例5】(1)若关于x的一元二次方程x2＋kx－2＝0有一个根为2，则k的值为(B)
A．－2 B．－1 C．1 D．2
(2)若m是方程2x2－3x－5＝0的一个根，则6m2－9m＋2 023＝__2__038__．
命题角度6　一元二次方程根的估算
先把方程化为一般形式，方程的解夹在方程左边的代数式的值大于0和小于0这两个未知数的值中间．
【例6】(1)根据下列表格的对应值判断方程2x2－x－2＝0的一个解x的范围是(D)
x 1.1 1.2 1.3 1.4
2x2－x－2 －0.68 －0.32 0.08 0.52
　　A．1.1C．1(2)填表并回答问题：
x －2 －1 0 1 2 3 4
x2－5x＋6 20 12 6 2 0 0 2
x2－4x＋2 14 7 2 －1 －2 －1 2
　　①根据上表可知方程x2－5x＋6＝0的根是__x1＝2，x2＝3__；
②根据上表可知方程x2－4x＋2＝0的根x的值介于__0与1__、__3与4__之间．
高效课堂　教学设计
1．使学生了解一元二次方程的概念．
2．掌握一元二次方程的一般形式ax2＋bx＋c＝0(a，b，c为常数，a≠0)．
▲重点
理解一元二次方程的概念，认识一元二次方程的一般形式．
▲难点
在一元二次方程化成一般形式后，如何确定一次项和常数项．
◆活动1　创设情境　导入新课(课件)
一个面积为120 m2的矩形苗圃，它的长比宽多2 m，苗圃的长和宽各是多少？
解：设苗圃的宽为x m，则长为(x＋2)m.
根据题意，得x(x＋2)＝120.
所列方程是否为一元一次方程？
(这个方程便是即将学习的一元二次方程．)
◆活动2　实践探究　交流新知
【探究1】(多媒体出示)幼儿园某教室矩形地面的长为8 m，宽为5 m，现准备在地面正中间铺设一块面积为18 m2的地毯，四周未铺地毯的条形区域的宽度都相同，你能求出这个宽度吗？如果设所求的宽度为x m，那么你能列出怎样的方程？
【探究2】(多媒体出示)观察等式102＋112＋122＝132＋142.你还能找到五个连续整数，使前三个数的平方和等于后两个数的平方和吗？如果将这五个连续整数中的第一个数设为x，那么怎样用含x的代数式表示其余四个数？根据题意，你能列出怎样的方程？
【探究3】
(多媒体出示)如图，一个长为10 m的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8 m．如果梯子的顶端下滑1 m．那么梯子的底端滑动多少米？你能计算出滑动前梯子的底端距墙的距离吗？如果设梯子底端滑动x m，那么你能列出怎样的方程？
【活动总结】由上面三个问题，我们可以得到三个方程：
(1)__(8－2x)(5－2x)＝18__；
(2)__x2＋(x＋1)2＋(x＋2)2＝(x＋3)2＋(x＋4)2__；
(3)__(x＋6)2＋72＝102__．
化简得2x2－13x＋11＝0，x2－8x－20＝0，x2＋12x－15＝0.
归纳：上面的方程都是只含有__一__个未知数x的__整式__方程，并且都可以化为__ax2＋bx＋c＝0(a，b，c为常数，a≠0)__的形式，这样的方程叫做一元二次方程．我们把ax2＋bx＋c＝0(a，b，c为常数，a≠0)称为一元二次方程的一般形式，其中ax2，bx，c分别称为__二次项__、__一次项__和__常数项__，a，b分别称为__二次项系数和一次项系数__．
◆活动3　开放训练　应用举例
例1　下列方程哪些是一元二次方程？为什么？
(1)7x2－6x＝0; (2)2x2－5xy＋6y＝0；
(3)2x2－－1＝0; (4)＝0；
(5)x2＋2x－3＝1＋x2.
【方法指导】根据一元二次方程的概念进行判定．
解：(1)(4)是一元二次方程；(2)含两个未知数；(3)不是整式方程；(5)不含ax2这一项．
例2　关于x的方程(k2－1)x2＋2(k－1)x＋2k＋2＝0，当k__≠±1__时，是一元二次方程；当k__＝－1__时，是一元一次方程．
【方法指导】当k2－1≠0，即k≠±1时，方程是一元二次方程．当k2－1＝0时，且2(k－1)≠0时，即k＝－1时是一元一次方程．
◆活动4　随堂练习
1．把方程－5x2＋6x＋3＝0的二次项系数化为1，方程可变为(C)
A．x2＋x＋＝0 B．x2－6x－3＝0
C．x2－x－＝0 D．x2－x＋＝0
2．一元二次方程(x＋1)2－x＝3(x2－2)化成一般形式是__2x2－x－7＝0__．
3．把方程(1－3x)(x＋3)＝2x2＋1化为一元二次方程的一般形式，并写出二次项、二次项系数、一次项、一次项系数及常数项．
解：原方程化为一般形式是：5x2＋8x－2＝0，其中二次项是5x2，二次项系数是5，一次项是8x，一次项系数是8，常数项是－2.
◆活动5　课堂小结与作业
学生活动：你这节课的主要收获是什么？
教学说明：理解一元二次方程的概念及一般形式．
作业：1.课本P32中的随堂练习．
2．课本P32习题2.1中的T1、T2、T3.
本节课通过阅读、分析，找出题中的等量关系，会用一元二次方程解决实际问题，让学生切身感受到自己是学习的主人．为学生今后获取知识、探索发现和创造打下了良好的基础．

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