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3　用公式法求解一元二次方程
第1课时　公式法
●类比导入　(1)解下列一元二次方程：
①x2＋2x－4＝0; ②3x2－5x＋1＝0；
③3x2－15x＋10＝0; ④5x2＋4x－7＝0.
(2)接着再改变上面每题的其中的一个系数，得到四个新的方程：
①3x2＋2x－4＝0; ②3x2－10x＋1＝0；
③3x2－15x－15＝0; ④5x2＋x－7＝0.
思考：新的四题与原题的解题过程会发生什么变化？
观察讨论得到：用配方法解不同一元二次方程的过程中，相同之处是配方，不同之处是方程的根的情况及方程的根．
教师：既然过程是相同的，为什么会出现根的不同？方程的根与系数有关吗？有怎样的关系？如何进一步探究？我们这节课就去探究根与系数的关系．
【教学与建议】教学：让学生类比用配方法解题既存在着共性，也存在着不同的现象，猜测方程的根与系数有一定的关系．建议：让学生分组求方程的根．
●复习导入　(1)用配方法解一元二次方程的方法和步骤：
①化1：把二次项系数化为1；
②移项：方程的一边为二次项和一次项，另一边为常数项；
③配方：方程两边同时加上一次项系数一半的平方；
④变形：方程转化为形如(x＋m)2＝n的形式；
⑤开方：方程两边开平方；
⑥求解：解一元一次方程；
⑦定解：写出原方程的解．
(2)用配方法来解一般形式的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0).
系数化1，得__x2＋x＋＝0__，
移项，得__x2＋x＝－__，
配方，得__x2＋x＋＝－＋__，
即＝.
因为a≠0，所以4a2＞0，当b2－4ac≥0时，得__x＋＝±__，
所以__x＝－±__，
即x1＝，x2＝.
当b2－4ac＜0时，方程无实数根．
【教学与建议】教学：以提问和练习的方式让学生回顾旧知，为推导公式法做准备．建议：全班同学在练习本上运算，请两名小组代表黑板练习．
命题角度1　利用公式法求解一元二次方程
用公式法求解一元二次方程需要先将方程化为一般形式，再确定a，b，c的值，然后代入b2－4ac判别根，最后根据计算结果选择运用求根公式计算或者确定方程无解．
【例1】用公式法解下列方程：
(1)4x2－4x＋1＝0; (2)x2＋4x＋5＝0；
(3)x2＋2x＝0; (4)2x2－3x－1＝0.
解：(1)x1＝x2＝；
(2)方程无实数根；
(3)x1＝0，x2＝－2；
(4)x1＝，x2＝.
命题角度2　利用根的判别式判断一元二次方程根的情况
①b2－4ac＞0，方程有两个不相等的实数解；②b2－4ac＝0，方程有两个相等的实数解；③b2－4ac＜0，方程没有实数解．
【例2】(1)一元二次方程3x2－4x＋2＝0的根的情况为(A)
A．没有实数根 B．只有一个实数根
C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根
(2)关于x的一元二次方程x2－kx－2＝0(k为实数)根的情况是__有两个不相等的实数根__．
命题角度3　根据方程解的情况求解字母系数的值或取值范围
利用方程根的情况与b2－4ac的值的对应关系列出含有字母系数的方程或不等式，确定字母系数的值或取值范围．
【例3】(1)已知关于x的一元二次方程(m－1)x2＋2x＋1＝0有实数根，则m的取值范围是(D)
A．m<2 B．m≤2
C．m<2且m≠1 D．m≤2且m≠1
(2)若关于x的一元二次方程x2＋2kx＋1＝0有两个相等的实数根，则k的值是__±1__．
高效课堂　教学设计
1．理解一元二次方程求根公式的推导．
2．利用公式法解一元二次方程．
3．会用根的判别式判断一元二次方程根的情况及其应用．
▲重点
掌握求根公式并会用公式法熟练地求解一元二次方程．
▲难点
一元二次方程求根公式的推导．
◆活动1　创设情境　导入新课(课件)
你能用配方法解下列方程吗？(多媒体出示)
(1)2x2＋x－1＝0；　　(2)3x2＋4＝6x.
要求学生用配方法求解，并交流展示．
答案：(1)x1＝，x2＝－1；(2)原方程无解．
◆活动2　实践探究　交流新知
【探究1】推导求根公式
1．你能利用配方法解方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)吗？请你试一试，并与同伴交流．
2．在解上面方程的过程中，你遇到了哪些问题？你是如何解决的？
归纳：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的求根公式：(多媒体出示)
一般地，对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，当b2－4ac≥0时，它的根是：x＝.
【探究2】认识求根公式
请同学们观察求根公式，完成以下探究问题，并与同伴交流．
1．说一说求根公式x＝(a≠0，b2－4ac≥0)的结构特征，它在什么条件下才可以使用？
2．一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根是由哪些数确定的？怎样运用求根公式解方程呢？
归纳：先化成一般形式，再确定公式中a，b，c的值，求出b2－4ac与“0”比较，最后利用求根公式求出方程的根．
【探究3】认识根的判别式
阅读教材P42“议一议”至 P43随堂练习上面内容，完成下列问题．
1．什么叫一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的判别式？如何运用根的判别式判断根的情况？
学生讨论、交流、展示，教师点评．
归纳：(1)把b2－4ac叫做一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的判别式，通常用希腊字母“Δ”来表示．
(2)当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数；当Δ＜0时，方程没有实数根．
◆活动3　开放训练　应用举例
例1　(教材P42例题)解方程：
(1)x2－7x－18＝0；　　　　　(2)4x2＋1＝4x.
【方法指导】用公式法解方程，首先将方程变形成一般形式，再根据公式求解．
解：(1)这里a＝1，b＝－7，c＝－18.
∵b2－4ac＝(－7)2－4×1×(－18)＝121＞0，
∴x＝＝.
即x1＝9，x2＝－2；
(2)将原方程化为一般形式，得
4x2－4x＋1＝0.这里a＝4，b＝－4，c＝1.
∵b2－4ac＝(－4)2－4×4×1＝0，
∴x＝＝，
即x1＝x2＝.
例2　已知a，b，c分别是△ABC的三边长，当m＞0时，关于x的一元二次方程c(x2＋m)＋b(x2－m)－2ax＝0有两个相等的实数根，请判断△ABC的形状．
【方法指导】先将方程转化为一般形式，再根据根的判别式确定a，b，c之间的关系，即可判定△ABC的形状．
解：将原方程转化为一般形式，得(b＋c)x2－2ax＋(c－b)m＝0.
∵原方程有两个相等的实数根．
∴(－2a)2－4(b＋c)(c－b)m＝0，
即4m(a2＋b2－c2)＝0.
又∵m≠0，∴a2＋b2－c2＝0，即a2＋b2＝c2.
根据勾股定理的逆定理可知△ABC为直角三角形．
◆活动4　随堂练习
1．一元二次方程2x2－x＋1＝0的根的情况是(C)
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．没有实数根
D．无法判断
2．若一元二次方程x2－2x＋m＝0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是(D)
A．m≥1 B．m≤1
C．m＞1 D．m＜1
3．用公式法解下列方程：
(1)6x2－x－2＝0；(2)4x2－7x＋1＝0；(3)2x2－2x＋3＝0.
解：(1)x1＝，x2＝－；
(2)x1＝，x2＝；
(3)此方程无实数根．
4．一个直角三角形三边的长为三个连续偶数，求这个三角形的三条边长．
解：这个三角形的三条边长分别为6，8，10.
◆活动5　课堂小结与作业
学生活动：你这节课的收获是什么？什么是公式法？怎样用求根公式求解？
教学说明：感受公式的对称美、简洁美、产生热爱数学的情感．
作业：课本P43习题2.5中的T1、T2、T3、T4.
经历从用配方法解数字系数的一元二次方程到解字母系数的一元二次方程，探索求根公式，发展学生合情合理的推理能力，并认识到配方法是理解求根公式的基础．通过对求根公式的推导，认识到一元二次方程的求根公式适用于所有的一元二次方程，操作简单．体会数式通性，感受数学的严谨性和数学结论的确定性．提高学生的运算能力，并养成良好的运算习惯．

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