资源简介

第2课时　用配方法求解二次项系数不为1的一元二次方程
●类比导入　(1)将下列各式填上适当的项，配成完全平方式．
①x2－2x＋__1__＝(x－__1__)2；
②x2＋6x＋__9__＝(x＋__3__)2；
③4x2＋__8x__＋4＝4(x＋__1__)2；
④2x2－10x＋____＝2.
(2)请同学们比较下列两个一元二次方程的联系与区别．
①x2＋6x＋8＝0；②5x2＋30x＋40＝0.
探讨：方程②应如何去解呢？
【教学与建议】教学：类比二次项系数导入课题，学习用配方法求解一次项系数不为1的一元二次方程．建议：让学生找办法，化未知为已知，将它们整理成熟悉的方程．
●复习导入　(1)一元二次方程的解法有哪些：直接开平方法和配方法．(2)什么叫配方法，怎样配方．(教师提问)
①通过配成完全平方式的方法，得到一元二次方程的根，这种解一元二次方程的方法称为配方法．
②配方的步骤：移项、方程的两边同时加上一次项系数一半的平方、配成完全平方式、直接开平方．
(3)你会用配方法解2x2－x－1＝0这样的方程吗？
【教学与建议】教学：以提问的方式让学生回答已学的知识，为本节课继续学习用配方法解一元二次方程起到承前启后的作用．建议：可以让学生自己表述，尽可能多地展示出自己的认识．
命题角度1　用配方法求解二次项系数不为1的一元二次方程
用配方法解一元二次方程的一般步骤：①化二次项系数为1；②移项；③配方；④开平方求出方程的根．
【例1】用配方法解方程：
(1)3x2－6x－8＝0; (2)x2＋3＝6x.
解：(1)x1＝，x2＝；
(2)x1＝12＋2，x2＝12－2.
命题角度2　用配方法求字母或代数式的值
一元二次方程可转化成(x＋m)2＝0的形式，可求出m的值．
【例2】(1)已知a2＋b2－4a＋6b＋13＝0，则a＋b＝__－1__．
(2)关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a，b，c是常数，a≠0)配方后为(x－2)2＝d(d是常数)，则＝__－4__．
命题角度3　用配方法求最值或进行证明
【例3】(1)已知代数式x2－5x＋7，先用配方法说明：不论x取何值，这个代数式的值总是正数；再求出当x取何值时，这个代数式的值最小，最小值是多少？
解：x2－5x＋7＝＋.
∵≥0，
∴＋>0.
∴不论x取何值，这个代数式的值总是正数．
当x＝时，这个代数式的值最小，最小值为.
(2)试用配方的方法证明4x2－12x＋10的值恒大于0.
证明：4x2－12x＋10＝4x2－12x＋9－9＋10＝(2x－3)2＋1.
∵无论x取何值，总有(2x－3)2≥0，
∴(2x－3)2＋1>0.
∴4x2－12x＋10的值恒大于0.
高效课堂　教学设计
1．会用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程．
2．能够熟练灵活地应用配方法解一元二次方程．
▲重点
用配方法求解二次项系数不为1的一元二次方程．
▲难点
理解配方法．
◆活动1　创设情境　导入新课(课件)
1．复习提问：用配方法解一元二次方程(二次项系数为1)的步骤是什么？
步骤是：__一移项、二配方、三求解__．
2．请同学们比较下列两个一元二次方程的联系与区别．
①x2＋6x＋8＝0；
②3x2＋18x＋24＝0.
探讨：方程②应如何去解呢？这就是我们今天要学习的内容，用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程．
◆活动2　实践探究　交流新知
【探究1】(多媒体出示)
观察方程3x2＋8x－3＝0，它与上面我们所解的方程有什么不同？你有什么想法？
先让学生回答这个方程与上面我们所解的方程有什么不同，再动员学生思考如何把这个方程转化为上面我们所解的方程类型，教师提醒后，找一位同学尝试板书，然后教师投影演示．
【探究2】用配方法解一元二次方程的步骤．
老师：下面请大家仔细观察教材P38例2的解题过程，你能说一说用配方法解一元二次方程的步骤吗？请同学们总结一下．
归纳：用配方法解一元二次方程的一般步骤大致概括如下：
(1)化二次项系数为1；
(2)移项，使方程的左边为二次项和一次项，右边为常数项；
(3)配方，方程两边同时加上一次项系数一半的平方，使原方程变为(x＋m)2＝n(n≥0)的形式；
(4)开平方；
(5)解——方程的解为x＝－m±.
◆活动3　开放训练　应用举例
例1　(教材P38例2)解方程：3x2＋8x－3＝0.
【方法指导】用配方法解方程．
解：两边同除以3，得x2＋x－1＝0，
配方，得x2＋x＋－－1＝0.
－ ＝0.
移项，得＝.
两边开平方，得x＋＝±，
即x＋＝，或x＋＝－，
所以x1＝，x2＝－3.
例2　如图，一块矩形土地，长是48 m，宽是24 m，现要在它的中央划一块矩形草地(空白部分)，四周铺上花砖路，路面宽都相等，草地面积占矩形土地面积的，求花砖路面的宽．
【方法指导】若设花砖路面宽为x m，则草地的长与宽分别为(48－2x)m及(24－2x)m，根据等量关系：矩形草地的面积＝×矩形土地的面积，即可列一元二次方程求解．
解：设花砖路面的宽为x m.
根据题意，得(48－2x)(24－2x)＝×48×24.
整理，得x2－36x＝－128.
配方，得x2－36x＋(－18)2＝－128＋(－18)2，
即(x－18)2＝196.
两边开平方，得x－18＝±14.
即x－18＝14，或x－18＝－14.
所以x1＝32(不合题意，舍去)，x2＝4.
故花砖路面的宽为4 m.
◆活动4　随堂练习
1．用配方法解方程：
(1)－x2＋x－＝0；(2)3x2＝5－6x.
解：(1)x1＝，x2＝；
(2)x1＝－1，x2＝－－1.
2．已知a2－3a＋b2－＋＝0，求a－4的值．
解：∵a2－3b＋b2－＋＝0，
∴＋＝0，
即＋＝0，∴a＝，b＝，
∴a－4＝－4＝－.
◆活动5　课堂小结与作业
学生活动：这节课的收获是什么？用配方法解一元二次方程的步骤是什么？
教学说明：体会转化思想，培养合作探究能力．
作业：1.课本P39中的随堂练习．
2．课本P40习题 2.4中的T1、T2、T3.
本节课通过对比，层层递进，不仅抓住了学生的兴趣，而且步步引导学生自主探究，并归纳、总结出用配方法解一元二次方程的一般步骤，使学生在探究、合作的过程中掌握知识，顺利地突破重点、难点．

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