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3　反比例函数的应用
●置疑导入　你吃过拉面吗？实际上在做拉面的过程中就渗透着数学知识：一定体积的面团做成拉面，面条的总长度y(m)是面条的粗细(横截面面积)S(mm2)的反比例函数，其图象如图所示．
(1)写出y与S之间的函数表达式；
(2)当面条粗为1.6 mm2时，面条的总长度是多少米？
分析：(1)用待定系数法得到表达式为__y＝(S>0)__．
(2)当S＝1.6时，__y＝80__．
反比例函数的图象和性质在生活中有着广泛的应用，这节课我们一起来探究反比例函数的应用．
【教学与建议】教学：先让学生把所学习的有关反比例函数的知识应用到实际问题中，让学生体会到数学与生活的联系．建议：教师可以通过小组合作的形式完成．
●复习导入　回答下列问题：
问题1：什么是反比例函数？
问题2：反比例函数的图象是什么？
问题3：反比例函数的图象有哪些性质？
【教学与建议】教学：巩固所学内容，由浅入深，激发学生学习兴趣．建议：学生完成后教师引导学生归纳．
命题角度1　反比例函数在物理学中的应用
反比例函数在物理学中的应用情况，常见的有当电压U一定时，电流I与电阻R成反比例关系；波速等于波长乘以频率，当波速一定时，波长与频率成反比例关系等．
【例1】(1)当电压为220伏时，通过电路的电流I(安培)与电路中电阻R(欧姆)之间的函数关系为(A)
A．I＝ B．I＝220R C．I＝ D．220I＝R
(2)某闭合电路中，电源的电压为定值，电流I(A)与电阻R(Ω)成反比例关系．如图是该电路中电流I与电阻R之间的函数关系图象，当电阻R为6 Ω时，电流I为__1__A.
命题角度2　反比例函数在生活中的应用
解答该类问题的步骤：先是确定两个变量之间的函数关系，然后利用待定系数法求出它们的关系式．
【例2】一辆汽车匀速通过某段公路，所需时间t(h)与行驶速度v(km/h)满足函数关系：t＝，其图象为如图所示的一段曲线且端点为A(40，1)和B(m，0.5).
(1)求k和m的值；
(2)若行驶速度不得超过60 km/h，则汽车通过该路段最少需要多少时间？
解：(1)将A(40，1)，B(m，0.5)代入t＝，解得k＝40，m＝80；
(2)由(1)可得，公路的长度为40 km，当v≤60时，解得t≥.∴汽车通过该路段最少需要 h．
命题角度3　反比例函数与一次函数的综合应用
通常借助直线与双曲线的两个交点与原点、x轴、y轴组成直角三角形，解决求线段长度或图形面积等问题．
【例3】(1)如图，直线y＝kx－3(k≠0)与坐标轴分别交于点C，B，与双曲线y＝－(x<0)交于点A(m，1)，则AB的长是(A)
A．2 B． C．2 D．
(2)如图，已知反比例函数y＝与一次函数y＝kx＋b的图象相交于A(4，1)、B(a，2)两点，一次函数的图象与y轴的交点为C.
①求反比例函数和一次函数的表达式；
②若点D的坐标为(1，0)，求△ACD的面积．
解：①∵点A(4，1)在反比例函数y＝的图象上，
∴m＝xy＝4×1＝4，∴y＝.
把B(a，2)代入y＝，得2＝，∴a＝2，∴B(2，2).
把A(4，1)，B(2，2)代入y＝kx＋b，得解得
∴一次函数的表达式为y＝－x＋3；
②∵点C是直线y＝－x＋3与y轴的交点，∴当x＝0时，y＝3，∴C(0，3)，过A作AE⊥x轴于E，∴S△ACD＝S梯形AEOC－S△COD－S△DEA＝－×1×3－×1×3＝5.
高效课堂　教学设计
1．经历分析实际问题中变量之间的关系，建立反比例函数模型．
2．利用反比例函数模型解决问题．
▲重点
用反比例函数的知识解决实际问题．
▲难点
根据实际条件确定反比例函数表达式．
◆活动1　创设情境　导入新课(课件)
1．什么是反比例函数？
2．反比例函数的图象是什么？
3．反比例函数图象有哪些性质？
4．反比例函数图象的对称性如何？
◆活动2　实践探究　交流新知
活动内容：例题展示
(展示多媒体课件)
某校科技小组进行野外考察，利用铺垫木板的方式通过了一片烂泥湿地，你能解释他们这样做的道理吗？当人和木板对湿地的压力一定时，随着木板面积S(m2)的变化，人和木板对地面的压强p(Pa)将如何变化？如果人和木板对湿地面积的压力合计600 N，那么
(1)用含S的代数式表示p，p是S的反比例函数吗？为什么？
(2)当木板面积为0.2 m2时，压强是多少？
(3)如果要求压强不超过6 000 Pa，木板面积至少要多大？
(4)在平面直角坐标系中，画出相应的函数图象．
(5)请利用图象对(2)和(3)作出直观解释，并与同伴交流．
小组讨论交流展示，教师引导：在(4)中，为什么只需在第一象限作函数图象？此外，还要注意单位长度所表示的数值．在(5)中，要求学生领会实际问题的数学意义及反比例函数模型的应用，体会数与形的统一．
解：(1)由p＝得p＝，p是S的反比例函数；
(2)当S＝0.2 m2时，p＝＝3 000(Pa)；
(3)当p≤6 000 Pa时，S≥＝0.1(m2)；
(4)函数图象如图所示：
(5)(2)是已知图象上某点的横坐标为0.2，求该点的纵坐标；(3)是已知图象上点的纵坐标不大于6 000，求这些点横坐标的取值范围．
归纳：本题渗透了物理学中压强、压力与受力面积之间的关系p＝，当压力F一定时，p与S成反比例．另外，利用反比例函数的知识解决实际问题时，要善于发现实际问题中变量之间的关系，从而进一步建立反比例函数模型．
◆活动3　开放训练　应用举例
例1　(教材P158做一做)蓄电池的电压为定值．使用此电源时，用电器的电源I(A)与电阻R(Ω)之间的函数关系如图所示．
(1)蓄电池的电压是多少？你能写出这一函数的表达式吗？
(2)如果以此蓄电池为电源的用电器限制电流不得超过10 A，那么用电器的可变电阻应控制在什么范围内？
【方法指导】从图象看，I和R是反比例函数关系，利用A点坐标求出函数表达式．
解：(1)设函数表达式为I＝，将A(9，4)代入表达式中，解得U＝36，∴蓄电池的电压是36 V，函数的表达式为I＝(R＞0)；
(2)R≥3.6 Ω.
例2　如图，正比例函数y＝k1x的图象与反比例函数y＝的图象相交于A，B两点，其中点A的坐标为(，2).
(1)分别写出这两个函数的表达式；
(2)你能求出点B的坐标吗？你是怎样求的？与同伴进行交流．
【方法指导】①点A的坐标对于求两个函数的表达式有什么帮助？
②如何利用两个函数的表达式求点B的坐标？
解：(1)点A(，2)代入y1＝kx，得k1＝2，则正比例函数表达式为y＝2x.把点A(，2)代入y＝，得k2＝6，则反比例函数表达式为y＝；
(2)∵反比例函数y＝的图象关于原点对称，∴点B与A关于原点对称，∴点B的坐标是(－，－2).
◆活动4　随堂练习
1．近视眼镜的度数y(度)与镜片焦距x(m)成反比例(即y＝，k≠0)，已知400度近视眼镜的镜片焦距为0.25 m，则y与x之间的函数关系式是__y＝__.
2．一个水池装水12 m3，如果从水管每小时流出x(m3)的水，经过y(h)可以把水放完，那么y与x之间的函数关系式是__y＝__，自变量x的取值范围是__x＞0__．
3．某闭合电路中，电源的电压为定值，电流I(A)与电阻R(Ω)成反比例．如图表示的是该电路中电流I与电阻R之间函数关系的图象，则用电阻R表示电流I的函数表达式为(C)
A．I＝ B．I＝ C．I＝ D．I＝－
4．在温度不变的条件下，通过一次又一次地对汽缸顶部的活塞加压，测出每一次加压后缸内气体的体积和气体对汽缸壁所产生的压强，如下表：
体积x/ml 100 80 60 40 20
压强y/kPa 60 75 100 150 300
　　则可以反映y与x之间的关系的式子是(D)
A．y＝3 000x B．y＝6 000x C．y＝ D．y＝
5．如图，在直角坐标系xOy中，直线y＝mx与双曲线y＝相交于A(－1，a)，B两点，BC⊥x轴，垂足为C，△AOC的面积是1.
(1)求m，n的值；
(2)求直线AC的表达式．
教师引导，学生小组研讨完成．
解：(1)∵直线y＝mx与双曲线y＝相交于A(－1，a)，B两点，∴B点横坐标为1.
∵BC⊥x轴，垂足为C，∴C(1，0).
∵△AOC的面积为1，∴×1×a＝1，解得a＝2.∴A(－1，2).
将A(－1，2)分别代入y＝mx，y＝可得m＝－2，n＝－2；
(2)设直线AC的表达式为y＝kx＋b，将A(－1，2)，C(1，0)代入，得解得
∴直线AC的表达式为y＝－x＋1.
◆活动5　课堂小结与作业
学生活动：这节课的主要收获是什么？还有哪些疑惑？
教学说明：从实际问题抽象出数学问题，建立数学模型，在数学学习中应用很多．
作业：课本P159随堂练习，习题6.4中的T1、T2、T3.
本节课采用引导、启发及问题讨论相结合的教学方式，引导学生从已有的知识和生活经验出发，师生共同探究解决新问题的途径和方法．这一过程中，充分发挥教师的主导作用、学生的主体作用、教材的主源作用、旧知识的迁移作用、学生之间的相互作用，从而使得师生得到共同发展．

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