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4　用因式分解法求解一元二次方程
●情景导入　在新城区规划建设过程中，测量土地时，发现了一块正方形土地和一块长方形土地，长方形土地的宽和正方形土地的边长相等，长方形土地的长为90 m，测量人员说：“正方形土地面积是长方形土地面积的.”你能帮助工作人员计算一下正方形土地的面积吗？
[分析]如果设正方形土地的边长为x m，根据题意，得3x2＝90x，在解此方程时，我们可以通过直接开平方法、配方法和公式法来解决，那么，一元二次方程除了上述解法外，还有其他解法吗？今天，我们进一步探讨一元二次方程的解法．(板书课题：4　用因式分解法求解一元二次方程)
【教学与建议】教学：回顾已学一元二次方程的多种解法，探求更简便的解法，引入了本节课的课题．建议：利用具体问题列出一元二次方程后，教师可以让学生去思考怎样解答．
●类比导入　(1)用适当的方法解下列方程：①x2－5＝0；②3x2－5x－1＝0；③(x＋2)2－9＝0.
(2)如果a·b＝0，则a＝0或b＝0，你能用这个知识点解下面的方程吗？它与(1)有什么区别？
①x(x－10)＝0；②(x－2)(x＋3)＝0；③(3x－1)(2x＋4)＝0.
【教学与建议】类比以前学的解一元二次方程的方法，让学生感受因式分解法解一元二次方程所要达到的形式，自然地引入到新课的探究中．建议：在练习中让学生求解方程后说明自己选择对应方法的理由．
命题角度1　利用因式分解法求解一元二次方程
因式分解法解一元二次方程，利用因式分解将一元二次方程中的2次降为1次，其结果的形式是两个因式的积等于0.
【例1】(1)用因式分解法解下列方程．
①x2－4x－12＝0；②3(x－2)2＝x(x－2).
解：①x1＝6，x2＝－2；②x1＝2，x2＝3.
(2)解方程：(x＋2)(x－2)＝x＋2.
解：两边同除以(x＋2)，得x－2＝1.　①
所以x＝3.　②
以上解答错在第__①__步，正确的答案是__x1＝－2，x2＝3__．
命题角度2　用合适的方法解一元二次方程
解一元二次方程的方法主要有直接开平方法、配方法、公式法和因式分解法，解方程时优先考虑直接开平方法和因式分解法，再考虑配方法和公式法．
【例2】(1)解一元二次方程y2－2y＝288比较适合的方法是(B)
A．直接开平方法 B．配方法
C．公式法 D．因式分解法
(2)将下列方程的序号填在相应解法的后面：①2(x－1)2＝8；②(x－2)2＋x2＝4；③x2－2x－1＝0；④x2－x＋＝0.使用下列解法比较适合的是：
直接开平方法__①__；配方法__③__；公式法__④__；因式分解法__②__．
命题角度3　用因式分解法解决问题
此类题一般是应用因式分解法和几何知识求解．
【例3】(1)一个三角形的两边长分别为3和4，第三边的长是方程x2－2x－15＝0的根，则这个三角形的周长为(A)
A．12 B．13 C．14 D．15
(2)等腰三角形的两边长分别是方程x2－5x＋6＝0的两根，则它的周长是__7或8__．
高效课堂　教学设计
1．了解因式分解的步骤，能用因式分解法解一元二次方程．
2．能根据一元二次方程的具体特征，灵活选择方程的解法．
▲重点
会用因式分解法解方程．
▲难点
根据方程的具体特征灵活选取适当的方法解方程．
◆活动1　创设情境　导入新课(课件)
复习：将下列各式分解因式：
(1)5x2－4x＝__x(5x－4)__；
(2)x2－4x＋4＝__(x－2)2__；
(3)4x(x－1)－2＋2x＝__2(x－1)(2x＋1)__；
(4)x2－4＝__(x＋2)(x－2)__；
(5)(2x－1)2－x2＝__(3x－1)(x－1)__．
◆活动2　实践探究　交流新知
一个数的平方与这个数的3倍有可能相等吗？如果相等，这个数是几？你是怎样求出来的？
小颖、小明、小亮都设这个数为x.根据题意，可得方程x2＝3x.但他们的解法各不相同：
小颖：由方程x2＝3x，得x2－3x＝0.
这里a＝1，b＝－3，c＝0.
∵b2－4ac＝(－3)2－4×1×0＝9＞0，
∴x＝.即x1＝3，x2＝0，∴这个数是3或0.
小明：方程x2＝3x两边同时约去x，得x＝3，
∴这个数是3.
小亮：由方程x2＝3x，得x2－3x＝0，
即x(x－3)＝0.于是x＝0，或x－3＝0.
∴x1＝3，x2＝0，∴这个数是3或0.
1．解法分析：
(1)以上三种解法对吗？为什么？
(2)三种解法分别用的是什么方法？
(3)小亮的解法是我们以前学过的哪种变形？利用这种方法解方程的依据是什么？
(4)你能总结一下什么是因式分解法吗？对于这道题，哪种解法更简便？
2．归纳：当一元二次方程的一边为0，而另一边易于分解成两个一次因式的乘积时，我们就可以用小亮的方法求解．这种解一元二次方程的方法称为因式分解法．
◆活动3　开放训练　应用举例
例1　(教材P47例题)解下列方程：
(1)5x2＝4x；　　　(2)x(x－2)＝x－2.
【方法指导】先让学生观察第(1)个方程的特点，然后让学生试着口述解题过程，教师根据学生的回答板书，期间可以做出必要的引导，如：移项要使“＝”号的右边为“0”；分解因式要先判断是否有公因式，若有公因式，则先用提公因式法分解因式；利用“若ab＝0，则a＝0或b＝0”将原来的一元二次方程转化成两个一元一次方程．
解：(1)原方程可变形为
5x2－4x＝0，
x(5x－4)＝0.
x＝0，或5x－4＝0.
∴x1＝0，x2＝；
(2)原方程可变形为
x(x－2)－(x－2)＝0，
(x－2)(x－1)＝0.
x－2＝0，或x－1＝0.
∴x1＝2，x2＝1.
例2　用适当的方法解下列方程：
(1)3x(x＋5)＝5(x＋5)；　(2)3x2＝4x＋1；　(3)5x2＝4x－1.
【方法指导】解一元二次方程时，若没有具体的要求，应尽量选择最简便的方法去解．能用因式分解法或直接开平方法的，选用因式分解法或直接开平方法；若不能用上述方法，可用公式法求解．在用公式法时，要先计算b2－4ac的值，若b2－4ac＜0，则判断原方程没有实数根．没有特殊要求时，一般不用配方法．
解：(1)原方程可变形为3x(x＋5)－5(x＋5)＝0，(x＋5)(3x－5)＝0，x＋5＝0，或3x－5＝0，
∴x1＝－5，x2＝；
(2)将方程化为一般形式，得3x2－4x－1＝0.
这里a＝3，b＝－4，c＝－1.
∵b2－4ac＝(－4)2－4×3×(－1)＝28＞0，
∴x＝＝＝，
即x1＝，x2＝；
(3)将方程化为一般形式，得5x2－4x＋1＝0.
这里a＝5，b＝－4，c＝1.
∵b2－4ac＝(－4)2－4×5×1＝－4＜0，
∴原方程没有实数根．
◆活动4　随堂练习
1．用因式分解法解下列方程：
(1)(x＋2)(x－4)＝0；
(2)4x(2x＋1)＝3(2x＋1)；
(3)4(x－1)＝(x－1)2；
(4)x(x＋2)＝4＋2x.
解：(1)x1＝－2，x2＝4；(2)x1＝－，x2＝；(3)x1＝1，x2＝5；(4)x1＝－2，x2＝2.
2．一个数平方的2倍等于这个数的7倍，这个数是__0或__．
3．已知三角形的两边分别为3和7，第三边长是方程x(x－7)－10(x－7)＝0的一个根，求这个三角形的周长．
解：解方程x(x－7)－10(x－7)＝0，
得x1＝7，x2＝10.
∵当x＝10时，3＋7＝10，不符合三角形的三边关系，∴x2＝10不合题意，舍去．∴x＝7，
∴这个三角形的周长为3＋7＋7＝17.
◆活动5　课堂小结与作业
学生活动：通过这节课的学习，你有哪些收获？先想一想，再分享给大家．
教学说明：教学以学生为主，教师辅助的方式完成，让学生养成及时练习反馈的习惯．
作业：课本P47习题2.7中的T1、T2、T3.
经历用因式分解法解一元二次方程的探索过程，发展学生合情合理的推理能力．积极探索方程不同的解法，体验解决问题方法的多样性．通过交流发现最优解法，在学习活动中获得成功的体验．

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