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22.2　二次函数与一元二次方程
●情景导入　某火车站欲建造一个圆形喷水池，如图，点O表示喷水池的水面中心，OA表示喷水柱子，水流从点A喷出，按照图中所示的平面直角坐标系，每一股水流在空中的路线都可以用y＝－x2＋x＋来描述，那么水池的半径最少要多少米，才能使喷出的水流不至于落到池外？
【教学与建议】教学：通过对喷水池的实际问题的探究，建立二次函数与一元二次方程关系的模型，导入新课．建议：帮助学生把实际问题转化为二次函数问题．
●置疑导入　如图，二次函数y＝x2－3x＋2的图象，根据图象回答：
(1)当x＝__1或2__时，y＝0；
(2)观察图象，方程x2－3x＋2＝0的根是__x1＝1，x2＝2__；
(3)二次函数y＝x2－3x＋2与一元二次方程x2－3x＋2＝0之间有什么关系？
【教学与建议】教学：通过对二次函数图象问题的导入，增加对二次函数y＝x2－3x＋2与一元二次方程x2－3x＋2＝0之间关系的联系．建议：引导学生观察二次函数的图象与x轴的交点坐标与方程的根的联系．
命题角度1　根据二次函数图象解一元二次方程
根据二次函数的图象确定一元二次方程的根．
【例1】(1)已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图，则一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的解是(A)
A．x1＝－3，x2＝1 B．x1＝3，x2＝1
C．x＝－3 D．x＝－2
　　　
(2)如图，一元二次方程ax2＋bx＋c＝3的解为__x1＝0，x2＝2__．
命题角度2　根据二次函数与一元二次方程的关系判断b2－4ac(或其他代数式)的取值范围
能根据抛物线与x轴的交点情况求与待定系数相关的代数式的取值范围(比如b2－4ac)，有时候还会考查当x＝1(或x＝－1)时，代数式a＋b＋c(或a－b＋c)的值．
【例2】(1)如图，若二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象的对称轴为直线x＝1，与y轴交于点C，与x轴交于点A，点B(－1，0)，有下列结论：①二次函数的最大值为a＋b＋c；②a－b＋c＜0；③b2－4ac＜0；④当y＞0时，－1＜x＜3.其中正确结论的个数是(B)
A．1 B．2 C．3 D．4
(2)已知抛物线y＝kx2＋2x－1与坐标轴有三个交点，则k的取值范围为__k＞－1且k≠0__．
命题角度3　根据抛物线与直线的交点情况求待定字母(或代数式)的值(或取值范围)
根据抛物线与直线的函数解析式构造出一元二次方程，再利用一元二次方程的根解决相关问题．
【例3】(1)对于题目“一段抛物线L：y＝－x(x－3)＋c(0≤x≤3)与直线l：y＝x＋2有唯一公共点，若c为整数，确定所有c的值．”甲的结果是c＝1，乙的结果是c＝3或c＝4，则(D)
A．甲的结果正确
B．乙的结果正确
C．甲、乙的结果合在一起才正确
D．甲、乙的结果合在一起也不正确
(2)如图，抛物线y＝ax2与直线y＝bx＋c的两个交点坐标分别为A(－2，4)，B(1，1)，则关于x的方程ax2＝bx＋c的解是__x1＝－2，x2＝1__．
高效课堂　教学设计
1．知道二次函数与x轴的交点个数与一元二次方程的根的个数之间的关系．
2．能够利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解，体会数形结合思想．
▲重点
二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)之间的联系，利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解．
▲难点
一元二次方程根的情况与二次函数图象与x轴位置关系的联系．
◆活动1　新课导入
1．若一次函数y＝kx＋b的图象经过点(0，1)，(1，0)，则方程kx＋b＝0的解是__x＝1__．
2．一次函数y＝kx＋b的图象如图所示，则方程kx＋b＝－3的解是__x＝－2__．
3．对于二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，当y取一个确定值时，它就变成了一个一元二次方程，由此可知一元二次方程与二次函数有着密切的关系．那么，二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)之间到底有怎样的关系呢？通过本节课的学习我们将能解决这个问题．
◆活动2　探究新知
1．教材P43　问题．
提出问题：
(1)小球的飞行高度能否达到15 m，20 m，20.5 m？就是要判断哪一个一元二次方程是否有解？
(2)请将函数h＝20t－5t2化成顶点式，并解释小球飞行高度能否达到15 m，20 m，20.5 m；
(3)为什么小球飞行高度达到15 m有两个时间，而飞行高度达到20 m只有一个时间，请从方程和函数角度分别给出解释；
(4)请结合本问题谈谈二次函数与一元二次方程的关系．
学生完成并交流展示．
2．教材P44　思考．
提出问题：
(1)由图22.2－2可以看出抛物线y＝x2＋x－2与x轴有几个公共点？它们的横坐标分别是什么？当x取公共点的横坐标时，函数值是多少？由此得出方程x2＋x－2＝0的根为多少？
(2)由图22.2－2可以看出抛物线y＝x2－6x＋9与x轴有几个公共点？公共点的横坐标是多少？当x为多少时，函数值是0？由此得出方程x2－6x＋9＝0的根为多少？
(3)由图22.2－2可以看出抛物线y＝x2－x＋1与x轴有没有公共点？由此得出方程x2－x＋1＝0的根如何？
(4)你能由此总结归纳出二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和x轴交点的坐标与一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根有什么关系吗？
学生完成并交流展示．
◆活动3　知识归纳
一般地，从二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象可得如下结论：
(1)如果抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴有公共点，公共点的横坐标为x0，那么当x＝x0时，函数值是0，因此x＝x0是方程ax2＋bx＋c＝0的一个根；
(2)二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴的位置关系有三种：没有公共点，有一个公共点，有两个公共点．这对应着一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根的三种情况：无实数根、有两个相等的实数根、有两个不相等的实数根．
◆活动4　例题与练习
例1　教材P46　例．
例2　如图，已知直线y＝－x与抛物线y＝－x2＋6交于A，B两点．
(1)求A，B两点的坐标；
(2)－x2＋6＞－x的解集为__________；
(3)－x2＋6＜－x的解集为__________．
解：(1)A(6，－3)，B(－4，2)；(2)－4＜x＜6；(3)x＜－4或x＞6
例3　二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，请根据图象信息回答问题：
(1)写出方程ax2＋bx＋c＝0的两根；
(2)写出不等式ax2＋bx＋c＞0的解集；
(3)写出方程ax2＋bx＋c＝2.5的两根；
(4)写出不等式ax2＋bx＋c＜2.5的解集；
(5)若方程ax2＋bx＋c＋1－k＝0有两个不相等的实数根，求k的取值范围．
解：(1)x1＝0，x2＝4；(2)x＜0或x＞4；(3)x1＝－1，x2＝5；(4)－1＜x＜5；(5)k＞－1.
练习
1．教材P47　习题22.2第1，2题．
2．下列抛物线中，与x轴有两个交点的是(　A　)
A．y＝3x2－9x＋3 B．y＝2x2－4x＋12
C．y＝x2－6x＋9 D．y＝5x2－3x＋9
3．根据下列表格的对应值，判断方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0，a，b，c为常数)一个解的范围是(　C　)
x 3.23 3.24 3.25 3.26
ax2＋bx＋c －0.06 －0.02 0.03 0.09
A．3＜x＜3.23 B．3.23＜x＜3.24
C．3.24＜x＜3.25 D．3.25＜x＜3.26
4．若二次函数y＝－x2＋2x＋k的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程－x2＋2x＋k＝0的一个解为x1＝3，另一个解为x2＝__－1__，不等式－x2＋2x＋k＜0的解集为__x＜－1或x＞3__.
◆活动5　课堂小结
1．二次函数与一元二次方程的联系．
2．注重数形结合法的掌握和运用．
1．作业布置
(1)教材P47　习题22.2第3，4，5，6题；
(2)对应课时练习．
2．教学反思

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