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第2课时　用待定系数法求二次函数的解析式
●复习导入　(1)回顾1：用待定系数法求一次函数解析式的一般步骤：①设一次函数的解析式；②列方程组求待定系数；③将所求系数值代回原函数解析式．
(2)回顾2：二次函数的解析式有如下几种形式：
一般式：__y＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)__；
顶点式：__y＝a(x－h)2＋k(a，h，k为常数，a≠0)__．
强调：当顶点是原点时，函数解析式为__y＝ax2(a为常数，a≠0)__．
(3)已知二次函数的图象经过(1，0)，(2，0)和(0，2)三点，你能求出这个二次函数的解析式吗？
【教学与建议】教学：通过对一次函数解析式求法的回顾，加强新旧知识之间的联系．建议：提出问题“由几个点的坐标可以确定二次函数的解析式”，再探究用待定系数法求二次函数解析式．
●情景导入　如图，某建筑的屋顶设计成横截面为抛物线形(曲线AOB)的薄壳屋顶．它的拱宽AB为4 m，拱高CO为0.8 m．施工前要先制造建筑模板，怎样画出模板的轮廓线呢？
　　 　　
【教学与建议】教学：建立不同的平面直角坐标系，寻找求二次函数解析式的最佳方法．建议：总结求二次函数解析式的方法：(1)当已知抛物线上任意三点时，通常设解析式为一般式y＝ax2＋bx＋c；(2)当已知抛物线的顶点与抛物线上另一点时，通常设解析式为顶点式y＝a(x－h)2＋k；(3)当已知抛物线与x轴的交点或交点横坐标时，通常设解析式为交点式y＝a(x－x1)(x－x2).
命题角度1　用一般式y＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)求二次函数的解析式
已知抛物线上任意三点，可选用一般式求二次函数的解析式．
【例1】(1)已知抛物线经过点A(－1，0)，B(4，5)，C(0，－3)，则抛物线的解析式为__y＝x2－2x－3__；
(2)已知二次函数y＝x2＋bx＋c的图象经过点A(0，－)，点B(1，)，则此二次函数的解析式为__y＝x2＋x－__．
命题角度2　用顶点式y＝a(x－h)2＋k(a，h，k为常数，a≠0)求二次函数的解析式
已知抛物线的顶点或对称轴，通常选择顶点式．
【例2】(1)若二次函数的图象的顶点坐标为(2，－1)，且抛物线过(0，3)，则二次函数的解析式是(C)
A．y＝－(x－2)2－1 B．y＝－(x－2)2－1
C．y＝(x－2)2－1 D．y＝(x－2)2－1
(2)抛物线的形状、开口方向与y＝x2－4x＋3相同，顶点为(－2，1)，则抛物线的解析式为(C)
A．y＝(x－2)2＋1 B．y＝(x＋2)2－1
C．y＝(x＋2)2＋1 D．y＝－(x＋2)2＋1
(3)已知二次函数当x＝－1时有最小值－4，且当x＝0时，y＝－3，则二次函数解析式为__y＝x2＋2x－3__．
命题角度3　用交点式y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)求二次函数的解析式
已知抛物线与x轴的交点坐标，通常选择交点式．
【例3】(1)已知一抛物线与x轴的交点是A(3，0)，B(－1，0)，且经过点C(2，9)，则该抛物线的解析式是__y＝－3x2＋6x＋9__；
(2)已知抛物线与x轴两个交点横坐标分别是－和3，且与y轴交点的纵坐标为－3，则该抛物线的解析式为__y＝2x2－5x－3__．
高效课堂　教学设计
1．学会用待定系数法求抛物线的解析式．
2．熟练地根据二次函数的不同性质选择适当的方法求解析式．
▲重点
用待定系数法求二次函数的解析式．
▲难点
由条件灵活选择解析式类型．
◆活动1　新课导入
1．正比例函数图象经过点(1，3)，该函数解析式是__y＝3x__．
2．在直角坐标系中，直线l过(1，3)和(3，1)两点，求直线l的函数解析式．
解：设直线l的函数解析式为y＝kx＋b(k≠0).
把(3，1)，(1，3)代入上式，得解得
∴直线l的函数解析式为y＝－x＋4.
3．一般地，函数解析式中有几个独立的系数，我们就需要相同个数的独立条件才能求出函数解析式．例如：我们确定正比例函数y＝kx(k≠0)只需要一个独立条件；确定一次函数y＝kx＋b(k≠0)需要两个独立条件．如果要确定二次函数y＝ax2＋bx＋c的解析式，需要几个条件呢？
◆活动2　探究新知
1．教材P39　探究．
提出问题：
(1)回忆一下用待定系数法求一次函数的解析式的一般步骤．求二次函数y＝ax2＋bx＋c的解析式的关键是什么？
(2)如果一个二次函数的图象经过(－1，10)，(1，4)，(2，7)三点，同学们能仿照求一次函数的解析式的步骤求出这个二次函数的解析式吗？
(3)解三元一次方程的方法是什么？
学生完成并交流展示．
2．已知抛物线的顶点坐标为(1，－1)，过原点，求抛物线的解析式.
提出问题：
(1)图象顶点为(h，k)的二次函数的解析式是什么？如果顶点坐标已知，那么求解析式的关键是什么？
(2)如何设解析式？
(3)如果已知顶点坐标和一点，求二次函数的解析式的一般步骤是什么？
学生完成并交流展示．
◆活动3　知识归纳
1．求二次函数的解析式y＝ax2＋bx＋c，需要求出__a，b，c__的值．由已知条件(如二次函数图象上三个点的坐标)列出关于__a，b，c__的方程组，求出__a，b，c__的值，就可以写出二次函数的解析式．
2．利用待定系数法求二次函数解析式时，一般可以分以下几种情况：
(1)顶点在原点，可设为y＝ax2；
(2)对称轴是y轴(或顶点在y轴上)，可设为y＝ax2＋k；
(3)顶点在x轴上，可设为y＝a(x－h)2；
(4)抛物线过原点，可设为y＝ax2＋bx；
(5)已知顶点(h，k)时，可设顶点式y＝a(x－h)2＋k；
(6)已知抛物线上三点时，可设一般式为y＝ax2＋bx＋c；
(7)已知抛物线与x轴两交点坐标为(x1，0)，(x2，0)时，可设交点式为y＝a(x－x1)(x－x2).
◆活动4　例题与练习
例1　已知二次函数经过(1，1)，(－1，4)，(0，3)三点，求这个二次函数的解析式．
解：设二次函数的解析式为y＝ax2＋bx＋c.
∵二次函数y＝ax2＋bx＋c过点(1，1)，(－1，4)，(0，3)三点，
∴解得
∴二次函数的解析式为y＝－x2－x＋3.　
例2　已知二次函数的图象如图所示，求这个二次函数的解析式．
解：设二次函数的解析式为y＝ax2＋bx＋c.
∵二次函数y＝ax2＋bx＋c过点(0，2)，(1，0)，(2，0)三点，
∴解得
∴二次函数的解析式为y＝x2－3x＋2.　
练习
1．教材P40　练习第1，2题．
2．已知函数y＝－x2＋bx＋c的图象顶点是(1，3)，则b，c的值是(　B　)
A．b＝2，c＝－2　　　　　　　　B．b＝2，c＝2
C．b＝－2，c＝2 D．b＝－2，c＝－2
3．已知二次函数的图象经过点(－1，－6)，(1，－2)和(2，3)，则这个二次函数的解析式为__y＝x2＋2x－5__．
4．已知二次函数的图象的对称轴为x＝1，函数的最大值为－6，且图象经过点(2，－8)，求此二次函数的解析式．
解：设二次函数的解析式为y＝a(x－1)2－6.∵函数图象过点(2，－8)，∴a(2－1)2－6＝－8，解得a＝－2，∴此二次函数的解析式为y＝－2(x－1)2－6.
◆活动5　课堂小结
1．熟练掌握求二次函数解析式的基本方法．
2．灵活选择方法求解析式．
1．作业布置
(1)教材P42　习题22.1第10，11题；
(2)对应课时练习．
2．教学反思

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