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22.3　实际问题与二次函数
第1课时　二次函数与图形面积问题
●情景导入　如图，用10.8 m长的木料，做一个有一条横档的矩形窗框，为了使窗户透进的光线最多，窗框的长、宽应各是多少？
【教学与建议】教学：通过对周长一定的矩形面积最大值的实际问题的导入，引入学生研究二次函数与图形面积问题的一般方法．建议：可以针对以上问题让学生填空：设宽为x m，面积为S m2.根据题意并结合图形可得S＝__x(5.4－x)__＝__－x2＋5.4x__．∵－__＜__0，∴S有最__大__值，当x＝__－＝1.8__时，S最__大__值，此时5.4－x＝__2.7__，即当窗框的长为__2.7__m__，宽为__1.8__m__时，窗户透进的光线最多．
●悬念激趣　(1)(做一做)请你画一个周长为18 cm的矩形，算一算它的面积是多少．再和周围同学所画的矩形比一比，你发现了什么？谁画的矩形的面积最大？
(2)(练一练)已知一个矩形的周长为18 m，它的一边长为x m，那么矩形面积S(m2)与x(m)之间有怎样的关系？自变量的取值范围是什么？
(3)(试一试)若想设计一个周长为18 m的矩形广告牌，假如你是设计师，你知道怎么设计才能使广告牌的面积最大吗？
【教学与建议】教学：逐渐增加问题难度，能有效地提高学生的数学建模能力．建议：教师要讲解时关注学生能否将实际问题转化为数学问题．
命题角度1　利用二次函数的性质解决图形面积的最值问题
常见题型：(1)利用二次函数解决图形的最大(小)面积问题；(2)几何图形上点的运动问题，何时面积最大(小)．
【例1】(1)如图，某居民小区要在一块一边靠墙(墙足够长)的空地上修建一个矩形花园ABCD，花园的一边靠墙，另外三边用总长为42 m的栅栏围成，CD上留2 m的位置做大门，则CD＝__22__m时，花园的面积最大，最大面积是__242__m2.
(2)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AB＝12 cm，点P是AB边上的一个动点，过点P作PE⊥BC于点E，PF⊥AC于点F，当PB＝__6__cm__时，四边形PECF的面积最大，最大值为__9__cm2__．
命题角度2　在几何图形运动过程中，判断函数图象
此类问题把几何图形的性质转化为求函数解析式的条件，然后再判断图象．
【例2】如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝3 cm，BC＝6 cm，动点P从点A开始沿AB边向点B以1 cm/s的速度移动，动点Q从点B开始沿BC边向点C以2 cm/s的速度移动，若P，Q两点分别从点A，B同时出发，点P到达点B时两点同时停止运动，则△PBQ的面积S与出发时间t之间的函数关系图象大致是(C)
命题角度3　二次函数与周长、面积、线段等最值存在性问题
此类问题一般作为中考的压轴题，常与三角形或四边形知识紧密结合．
【例3】如图，抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴交于A(－3，0)，B(1，0)两点，与y轴交于点C，对称轴l与x轴交于点F，定直线m∥AC，点E是直线AC上方抛物线上一动点，过点E作EH⊥m，垂足为H，交AC于点G，连接AE，EC，CH，AH.
(1)抛物线的解析式为______；
(2)当四边形AHCE面积最大时，求点E的坐标.
解：(1)y＝－x2－2x＋3
(2)连接OE.设E(a，－a2－2a＋3).
由题意，得－3＜a＜0.由抛物线解析式易得C(0，3)，
∴OA＝OC＝3，AC＝3.
∵AC∥m，直线m的位置确定，∴S△ACH为定值．
∵S四边形AHCE＝S△ACH＋S△AEC，
∴当△AEC面积最大时，四边形AHCE的面积最大．
易得S△AEC＝S△AEO＋S△ECO－S△AOC＝×3×(－a2－2a＋3)＋×3×(－a)－×3×3＝－a2－a＝－(a＋)2＋.
∵－＜0，∴当a＝－时，S△AEC最大，此时易得E(－，).
高效课堂　教学设计
1．让学生能够用二次函数知识解决最值问题(本节主要是面积问题)．
2．让学生能够根据实际问题构建二次函数模型．
▲重点
掌握用二次函数求最值来解决图形面积问题．
▲难点
将实际问题转化为数学问题是本节的难点．
◆活动1　新课导入
某公司在甲、乙两座仓库分别有农用车12辆和6辆．现在需要调往A县10辆，需要调往B县8辆，已知从甲仓库调运一辆农用车到A县和B县的运费分别为40元和80元；从乙仓库调运一辆农用车到A县和B县的运费分别为30元和50元．
(1)设乙仓库调往A县农用车x辆，求总运费y关于x的函数关系式；
(2)求最低总运费是多少元？
解：(1)设乙仓库调往A县农用车x辆，则乙仓库调往B县农用车(6－x)辆，甲仓库调往A县农用车(10－x)辆，调往B县农用车(2＋x)辆．根据题意，得y＝30x＋50(6－x)＋40(10－x)＋80(2＋x)＝20x＋860(0≤x≤6)；
(2)∵k＝20>0，∴y随x的增大而增大，∴当x＝0时，y最小值＝860.∴最低总运费是860元．
引入：正如一次函数能解决实际问题一样，二次函数的实际应用也十分广泛，让我们一起去看看二次函数的实际应用吧．
◆活动2　探究新知
1．教材P49　问题．
提出问题：
(1)请将二次函数h＝30t－5t2(0≤t≤6)化成顶点式，并指出其对称轴和顶点坐标；
(2)请解释该顶点横、纵坐标的含义？
学生完成并交流展示．
2．教材P49　探究1.
提出问题：
(1)矩形的面积公式是什么？
(2)如何用l表示另一边？面积S关于l的函数解析式是什么？
(3)由函数解析式S＝－l2＋30l(0＜l＜30)可知抛物线的开口方向如何？所以面积S在何时取得最大值？
学生完成并交流展示．
◆活动3　知识归纳
一般地，当a＞0(a＜0)时，抛物线y＝ax2＋bx＋c的顶点是最__低__(__高__)点，也就是说，当x＝__－____时，二次函数y＝ax2＋bx＋c有最小(大)值______.
◆活动4　例题与练习
例1　某广告公司设计一幅周长为12 m的矩形广告牌，广告设计费为每平方米1 000元，设矩形的一边长为x m，面积为S m2.
(1)写出S与x之间的关系式，并写出自变量x的取值范围；
(2)请你设计一个方案，使获得的设计费最多，并求出这个费用．
解：(1)∵矩形的一边长为x m，
∴另一边长为(6－x)m，
∴S＝x(6－x)＝－x2＋6x，其中0＜x＜6；
(2)∵S＝x(6－x)＝－x2＋6x＝－(x－3)2＋9，∴当x＝3，即矩形的一边长为3 m时，矩形面积最大，为9 m2，这时设计费最多，为9×1 000＝9 000(元).
例2　如图，有长为30 m的篱笆，一面利用墙(墙的最大可用长度为10 m)，围成中间隔有一道篱笆(平行于AB)的矩形花圃，设花圃的一边AB为x m，面积为y m2.
(1)求y与x之间的函数解析式；
(2)y是否有最大值？如果有，请求出y的最大值．
解：(1)y＝x(30－3x)＝－3x2＋30x(≤x＜10)；
(2)y有最大值．∵－＝－＝5，
∴当≤x＜10时，y随x的增大而减小，∴当x＝时，y最大＝.
练习
1．教材P51～5 2　习题22.3第1，3，4题．
2．用长12 m的铝合金条制成使窗户的透光面积最大的矩形窗框(如图)，那么这个窗户的最大透光面积是(　C　)
　A．9 m2　　　B．2 m2　　　C．6 m2　　　D．8 m2
◆活动5　课堂小结
利用二次函数解决几何图形中的最值问题．
1．作业布置
(1)教材P52　习题22.3第5，6，7题；
(2)对应课时练习．
2．教学反思

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