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第3课时　二次函数与拱桥问题
●情景导入　(1)欣赏一组石拱桥的图片(如图)，观察桥拱的形状．这组石拱桥图案中，桥拱的形状和抛物线像吗？有关桥拱的问题可以用抛物线知识来解决吗？
(2)步行街广场中心处有高低不同的各种喷泉(如图)，喷泉喷出的水柱的形状和抛物线像吗？有关喷泉的问题可以用抛物线知识来解决吗？
【教学与建议】教学：从学生生活中熟知的拱桥和喷泉问题引入新课，为探索二次函数的实际应用提供背景材料．建议：让学生欣赏这一组图片以后，引入问题．
●置疑导入　问题1：现实生活中你一定见过各式各样的抛物线形拱桥吧？能不能利用二次函数的知识解决与之相关的问题呢？
　　　
问题2：如图中的抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2 m，水面宽4 m，水面下降1 m，水面宽度增加多少？
【教学与建议】教学：从学生熟知的拱桥图片入手，建立数学模型．建议：(1)先复习二次函数解析式的形式；(2)观察图象，找出点和坐标，建立平面直角坐标系，探索函数解析式．
命题角度1　利用二次函数的性质解决抛物线形拱桥、隧道类、帐篷等问题
【例1】(1)某桥拱是近似的抛物线形，建立如图所示的平面直角坐标系，其函数的解析式为y＝－x2，当水面离桥拱顶的高度DO是4 m时，这时水面宽度AB为(C)
A．－20 m B．10 m C．20 m D．－10 m
(2)如图是一座古拱桥的截面图，拱桥桥洞上沿是抛物线形状，抛物线两端点与水面的距离都是1 m，拱桥的跨度为10 m，桥洞与水面的最大距离是5 m，桥洞两侧壁上各有一盏距离水面4 m的景观灯，则两盏景观灯之间的水平距离是__5__m__．
命题角度2　利用二次函数的性质解决刹车、投篮、喷水等其他实际问题
【例2】(1)在中考体考前，某九年级学生对自己某次实心球训练的录像进行分析，发现实心球飞行高度y(m)与水平距离x(m)之间的关系为y＝－x2＋x＋，由此可知该生此次实心球训练的成绩为__10__m.
(2)如图，人工喷泉有一个竖直的喷水枪AB，喷水口A距地面2 m，喷出水流的运动路线是抛物线，如果水流的最高点P到喷水枪AB所在直线的距离为1 m，且到地面的距离为3.6 m.
①建立适当平面直角坐标系，确定抛物线解析式；
②求水流的落地点D到喷水枪底部B的距离．
解：①建立平面直角坐标系，如图．
由题意，得P(1，3.6)，AB＝2，A(0，2).
设抛物线解析式为y＝a(x－1)2＋3.6.
将A(0，2)代入，解得a＝－1.6，
∴抛物线的解析式为y＝－1.6x2＋3.2x＋2；
②当y＝0时，有－1.6x2＋3.2x＋2＝0，
解得x1＝2.5，x2＝－0.5(舍去)，
∴BD＝2.5，
∴水流的落地点D到喷水枪底部B的距离为2.5 m．
高效课堂　教学设计
1．让学生能够用二次函数知识解决拱桥问题．
2．让学生能够根据实际问题构建二次函数模型．
▲重点
建坐标系解决拱桥问题．
▲难点
建立适当的坐标系解决抛物线形实际问题．
◆活动1　新课导入
现实生活中你一定见过各式各样的抛物线形拱桥(如图)吧？能不能利用二次函数的知识解决与之相关的问题呢？
◆活动2　探究新知
教材P51　探究3.
提出问题：
(1)对于抛物线形拱桥，要是能知道此抛物线的解析式就好了．你能确定这条抛物线的表达式吗？
(2)水面下降1 m的含义是什么？怎样把距离转化成坐标？如何求宽度增加多少？你能先在图中建立一个恰当的平面直角坐标系，使抛物线形拱桥转化为坐标系中的抛物线吗？
(3)你还有其他的解决方法吗？
学生完成并交流展示．
◆活动3　知识归纳
1．将线段长度转化为点的坐标问题．
2．利用点的坐标以及抛物线的特点，设出函数解析式并求解．
3．利用函数解析式求点的坐标，转化为线段的长度．
◆活动4　例题与练习
例1　如图①，三孔桥截面的三个孔都呈抛物线形，两小孔形状、大小都相同．正常水位时，大孔水面宽度AB＝20 m，顶点M距水面6 m(即MO＝6 m)，小孔顶点N距水面4.5 m(即NC＝4.5 m)．当水位上涨刚好淹没小孔时，借助图②中的平面直角坐标系，求此时大孔的水面宽度EF.
图①　　　　　　　　　　图②
解：设大孔对应的抛物线的函数解析式为y＝ax2＋6.
依题意，得B(10，0)，∴a×102＋6＝0，
解得a＝－0.06，即y＝－0.06x2＋6.
当y＝4.5时，－0.06x2＋6＝4.5，解得x＝±5.
∴DE＝DF＝5 m，∴EF＝10 m，即水面宽度EF为10 m．
例2　如图，小明的父亲在相距2 m的两棵树间拴了一根绳子，给他做了一个简易的秋千，拴绳子的地方A，B距地面高都是2.5 m，绳子自然下垂呈抛物线状，身高1 m的小明距较近的那棵树0.5 m时，头部刚好接触到绳子C处，求绳子的最低点距地面的距离为多少米？
解：建立如图所示的平面直角坐标系．可设它的函数解析式为y＝ax2＋k.
把B(1，2.5)，C(－0.5，1)代入，可求得a＝2，k＝0.5，
∴抛物线的解析式为y＝2x2＋0.5.
∵a＝2＞0，∴y有最小值，∴当x＝0时，y最小＝0.5.
答：绳子的最低点距地面的距离为0.5 m．
练习
1．欢欢在今年的校运会跳远比赛中跳出了满意的一跳，函数h＝3.5t－4.9t2(t的单位：s，h的单位：m)可以描述她跳跃时重心高度随时间的变化关系，则她起跳后到重心到达最高时所用的时间是____s.
2．某学校九年级的一场篮球比赛中，如图，队员甲正在投篮，已知球出手时离地面高 m，与篮圈中心的水平距离为7 m，当球出手后水平距离为4 m时到达最大高度4 m，设篮球运行轨迹为抛物线，篮圈距地面3 m.
(1)建立如图所示的平面直角坐标系，问此球能否准确投中？
(2)此时，若对方队员乙在甲面前1m处跳起盖帽拦截，已知乙的最大摸高为3.1 m，则他能否获得成功？
解：(1)能投中；
(2)当x＝1时，y＝3＜3.1，∴能成功．
◆活动5　课堂小结
利用二次函数解决抛物线形问题的一般步骤：
①建立适当的直角坐标系；②写出抛物线上的关键点的坐标；③运用待定系数法求出函数解析式；④求解数学问题；⑤求解抛物线形实际问题．
1．作业布置
(1)教材P57 　习题22.3第3题；
(2)对应课时练习．
2．教学反思

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