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24.1.2　垂直于弦的直径
●情景导入　课件出示关于赵州桥的引例
引例：你知道赵州桥吗？它是我国隋代建造的石拱桥，是我国古代人民勤劳与智慧的结晶．它的主桥是圆弧形，它的跨度(弧所对的弦长)为37 m，拱高(弧的中点到弦的距离)为7.23 m，现在有个人想要知道它主桥拱的半径是多少．同学们，你们能帮他求出来吗？学完了本节课的内容，我们一起来解决这个问题．
【教学与建议】教学：通过赵州桥引例，导入圆的轴对称性及垂径定理．建议：学生提前收集有关圆的对称图形．
●归纳导入　(1)操作1：拿出准备的圆，沿着圆的直径折叠圆，你有什么发现？
【归纳】圆是__轴对称__图形，__任何一条直径所在直线__都是圆的对称轴．
(2)操作2：将这个圆二等分、四等分、八等分．
(3)操作3：按下面的步骤做一做：
第一步，在一张纸上任意画一个⊙O，沿圆周将圆剪下，把这个圆对折，使圆的两部分重合；
第二步，展开，得到一条折痕CD；
第三步，在⊙O上任取一点A，过点A作折痕CD的垂线，沿垂线将纸片折叠；
第四步，将纸打开，得到新的折痕，其中点M是两条折痕的交点，即垂足，新的折痕与圆交于另一点B，如图.
在上述的操作过程中，你发现了哪些相等的线段和相等的弧？
【归纳】垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧．
【教学与建议】教学：通过对剪圆和折叠圆的操作，活跃课堂气氛．建议：在学生操作、分析、归纳的基础上，引导学生归纳垂直于弦的直径的性质．
命题角度1　垂径定理及推论的辨析
根据圆的轴对称性得到垂直于弦的直径所具有的性质．
【例1】(1)如图，⊙O的弦AB垂直于半径OC，垂足为D，则下列结论中错误的是(C)
A．∠AOD＝∠BOD B．AD＝BD
C．OD＝DC D．＝
(2)下列命题中错误的命题有__②③④__．(填序号)
①弦的垂直平分线经过圆心；②平分弦的直径垂直于弦；③梯形的对角线互相平分；④圆的对称轴是直径．
命题角度2　直接利用垂径定理进行计算
构造以半径、弦长的一半、弦心距为三边长的直角三角形，利用勾股定理求解．
【例2】(1)如图，⊙O的半径OA＝4，以点A为圆心，OA为半径的弧交⊙O于点B，C，则BC的长为(A)
A．4 B．5 C．2 D．3
　　　
(2)已知在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于点C，D(如图)．若大圆的半径R＝10，小圆的半径r＝8，且圆心O到直线AB的距离为6，则AC的长是__8－2__．
命题角度3　垂径定理的实际应用
圆弧形拱桥等问题，常通过作辅助线，使之符合垂径定理的直角三角形，运用勾股定理求解．
【例3】好山好水好绍兴，石拱桥在绍兴处处可见，小明要帮忙船夫计算一艘货船是否能够安全通过一座圆弧形的拱桥，现测得桥下水面AB宽度16 m时，拱顶高出水平面4 m，货船宽12 m，船舱顶部为矩形并高出水面3 m.
(1)请你帮助小明求此圆弧形拱桥的半径；
(2)小明在解决这个问题时遇到困难，请你判断一下，此货船能顺利通过这座拱桥吗？说说你的理由．
解：(1)连接OB.∵OC⊥AB，∴D为AB中点．∵AB＝16 m，∴BD＝AB＝8 m．又∵CD＝4 m，设OB＝OC＝r，则OD＝(r－4)m.在Rt△BOD中，根据勾股定理，得r2＝(r－4)2＋82，解得r＝10.答：此圆弧形拱桥的半径为10 m；
(2)连接ON.∵CD＝4 m，船舱顶部为矩形并高出水面3 m，∴CE＝4－3＝1(m)，∴OE＝r－CE＝10－1＝9(m).在Rt△OEN中，EN2＝ON2－OE2＝102－92＝19，∴EN＝(m)，∴MN＝2EN＝2 m＜12 m，∴此货船B不能顺利通过这座拱桥．
魔术蛋
魔术蛋是九块板，这九块板合起来是一个椭圆，形如鸟蛋，用它可以拼出各种鸟形，因而又名“百鸟拼板”．要制作一个魔术蛋，先绘制一个椭圆形鸟蛋：上部为半圆，下部为椭圆．
(1)作一个圆，圆心为O，并通过圆心，作直径AB的垂线MN；(2)连接AN.并适当延长，再以A为圆心，AB的长为半径作圆弧交AN的延长线于点C；(3)连接BN.并适当延长，再以B为圆心，BA的长为半径作圆弧交BN的延长线于点D；(4)以N为圆心，NC为半径，作圆弧CD，于是下部成为椭圆；(5)在OM上作线段MF等于NC，以F为圆心，MF为半径作圆弧，交AB于点G，H，连接FG，FH，这样魔术蛋便制好了．
高效课堂　教学设计
1．探索并了解圆的对称性和垂径定理．
2．能运用垂径定理解决几何证明、计算问题，并会解决一些实际问题．
▲重点
垂径定理、推论及其应用．
▲难点
发现并证明垂径定理．
◆活动1　新课导入
1．请同学们把手中的圆对折，你会发现圆是一个什么样的图形？
答：圆是轴对称图形，每一条直径所在的直线都是圆的对称轴．
2．请同学们再把手中的圆沿直径向上折，折痕是圆的一条什么呢？通过观察，你能发现直径与这条折痕的关系吗？
答：折痕是圆的一条弦，直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．
◆活动2　探究新知
1．教材P81　探究．
提出问题：
(1)通过上面的折纸，圆是轴对称图形吗？有几条对称轴？
(2)“圆的任意一条直径都是它的对称轴”这种说法对吗？若不对，应该怎样说？
学生完成并交流展示．
2．教材P82　例2以上内容．
提出问题：
(1)证明了圆是轴对称图形后，观察图24.1－6，对应线段、对应弧之间有什么关系？由此可得到什么结论？
(2)若把P81的条件“直径CD⊥AA′于点M”改为“直径CD平分弦AA′(不是直径)于点M”，还能证明出图形是轴对称图形吗？此时对应线段、对应弧之间有什么关系？
(3)当第(2)问中的弦AA′为直径时，相关结论还成立吗？为什么？
学生完成并交流展示．
◆活动3　知识归纳
1．圆是__轴__对称图形，任何一条__直径所在的直线__都是它的对称轴，它也是中心对称图形，对称中心为__圆心__．
2．垂直于弦的直径__平分__弦，并且__平分__弦所对的两条弧，即一条直线如果满足：①__AB经过圆心O且与圆交于A，B两点__；②__AB⊥CD交CD于点E__；那么可以推出：③__CE＝DE__；④＝；⑤＝.
3.__平分弦(不是直径)__ 的直径垂直于弦，并且__平分__弦所对的两条弧．
提出问题：
“推论”里的被平分的弦为什么不能是直径？
学生完成并交流展示．
◆活动4　例题与练习
例1　教材P82　例2.
例2　如图，D，E分别为，的中点，DE交AB，AC于点M，N.求证：AM＝AN.
证明：连接OD，OE分别交AB，AC于点F，G.∵D，E分别为，的中点，∴∠DFM＝∠EGN＝90°.∵OD＝OE，∴∠D＝∠E，∴∠DMB＝∠ENC.∵∠DMB＝∠AMN，∠ENC＝∠ANM，∴∠AMN＝∠ANM，∴AM＝AN.
练习
1．教材P83　练习第1，2题．
2．已知弓形的弦长为6 cm，弓形的高为2 cm，则这个弓形所在的圆的半径为____cm__．
3．如图，AB为⊙O的直径，E是的中点，OE交BC于点D，BD＝3，AB＝10，则AC＝__8__．
4．如图，⊙O中弦CD交半径OE于点A，交半径OF于点B，若OA＝OB，求证：AC＝BD.
证明：过点O作OG⊥CD于点G.
∵OG过圆心，∴CG＝DG.
∵OA＝OB.∴AG＝BG，
∴CG－AG＝DG－BG，∴AC＝BD.
◆活动5　课堂小结
垂径定理及其推论，以及常用的辅助线(作垂径)和解题思路(构造由半径、半弦、弦心距组成的直角三角形)．
1．作业布置
(1)教材P90　习题24.1第8，11题；
(2)对应课时练习．
2．教学反思

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