资源简介

24.1.4　圆周角
第1课时　圆周角定理及其推论
●情景导入　在如图中，当球员在B，D，E处射门时，他所处的位置对球门AC分别形成三个张角∠ABC，∠ADC，∠AEC.这三个角的大小有什么关系？
【教学与建议】教学：通过学生感兴趣的足球活动引入本课内容，激起学生的学习兴趣．建议：教师要关注学生是否理解示意图，是否理解圆周角的定义．
●复习导入　(1)如图①，∠AOB是圆心角，顶点在__圆心__的角叫做圆心角；
(2)在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角__相等__，所对的弦__相等__；
(3)观察图②，发现∠ACB的顶点在圆周上，∠ACB是圆周角．
　 　 　 　
(4)观察图③④⑤，比较∠AOB与∠ACB的度数关系．
【教学与建议】教学：通过复习圆心角的概念，导入圆周角的概念及圆周角定理．建议：在探索圆周角定理时，实践操作画出同弧上的圆周角和圆心角．
命题角度1　圆周角定理
这类题利用一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半，解决角的度数问题．
【例1】(1)如图，点A，B，C，D在⊙O上，∠AOC＝140°，点B是的中点，则∠D的度数是(D)
A．70° B．55° C．35.5° D．35°
　　　
(2)如图，AB是⊙O的直径，若∠BDC＝40°，则∠BOC的度数为__80°__．
命题角度2　圆周角定理的推论1
在进行角度转换时，注意“同弧”“等弧”在角度转换中的过渡作用．
【例2】(1)如图，AB是⊙O的弦，OC⊥AB交⊙O于点C，点D是⊙O上一点，∠ADC＝28°，则∠BOC的度数为(C)
A．28° B．42° C．56° D．62°
　　　
(2)如图，A，B，C是⊙O上三点，∠BAC的平分线AM交BC于点D，交⊙O于点M.若∠BAC＝60°，∠ABC＝50°，则∠CBM＝__30°__，∠AMB＝__70°__．
命题角度3　圆周角定理的推论2
这类题目一般情况下，直径是寻找直角的重要条件．
【例3】(1)如图，AB是⊙O的直径，AC是弦．若∠ACO＝32°，则∠B＝__58°__．
　　　
(2)如图，△ABC的顶点都在⊙O上，AD是⊙O的直径，AD＝2，∠B＝∠DAC，则AC＝____．
高效课堂　教学设计
1．学习圆周角、圆周角定理及推论．
2．掌握圆周角与圆心角、直径的关系，能用分类讨论的思想证明圆周角定理．
3．理解圆周角定理的推论，并运用推论进行有关的计算和证明．
▲重点
理解圆周角定理的推论，并运用推论进行有关的计算和证明．
▲难点
1．运用分类讨论的数学思想证明圆周角定理．
2．独自探索并证明圆周角定理的推论并能应用该推论解决问题．
◆活动1　新课导入
1．(1)圆心角指顶点在__圆心__的角；
(2)如图，AB，CD是⊙O的两条弦：
①如果AB＝CD，那么__＝__，__∠AOB＝∠COD__；
②如果＝，那么__AB＝CD__，__∠AOB＝∠COD__；
③如果∠AOB＝∠COD，那么__AB＝CD__，__＝__．
◆活动2　探究新知
1．将圆心角的顶点进行移动，如图①.
(1)当角的顶点在圆心时，我们知道这样的角叫圆心角，如∠AOB.当角的顶点运动到圆周时，如∠ACB.∠ACB有什么特点？它与∠AOB有何异同？
　　　
　　　　　　　　　　　　图①　　　　　　 　　　图②
(2)观察图②，你能仿照圆心角的定义给这类角取一个名字并下个定义吗？
(3)比较概念：圆心角定义中为什么没有提到“两边都与圆相交”呢？
学生完成并交流展示．
2．教材P85～86　探究．
提出问题：
(1)经过测量，图24.1－11中的圆周角∠ACB和圆心角∠AOB之间有什么关系？
(2)任意作一个圆，任取一条弧，作出它所对的圆周角与圆心角，测量它们的度数，你发现什么规律？
(3)一条弧所对的圆心角有几个？所对的圆周角有几个？
(4)改变动点C在圆周上的位置，看看圆周角的度数有没有变化？你发现了什么？
(5)如果把上述发现的结论中的“同弧”改为“等弧”，结论还正确吗？
　　　
　　　　　　　　　图③ 　　　　　　　　图④
(6)如图③，BC是⊙O的直径．请问：BC所对的圆周角∠BAC是锐角、直角还是钝角？
(7)如图④，若圆周角∠BAC＝90°，那么它所对的弦BC经过圆心吗？为什么？由此能得出什么结论？
学生完成并交流展示．
◆活动3　知识归纳
1．顶点在__圆上__， 并且两边都与圆__相交__的角叫做圆周角．
2．在同圆或等圆中，__等弧__或__等弦__所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的__圆心角__的一半．
3．在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也__相等__．
4．半圆(或直径)所对的圆周角是__直角__，90°的圆周角所对的弦是__直径__．
◆活动4　例题与练习
例1　教材P87　例4.
例2　如图，△ABC的顶点都在⊙O上，AD是⊙O的直径，AD＝，∠B＝∠DAC，则AC＝__1__．
例3　如图，AB是⊙O的直径，AB＝10 cm，∠ADE＝60°，DC平分∠ADE，求AC，BC的长．
解：∵∠ADE＝60°，DC平分∠ADE，∴∠ADC＝∠ADE＝30°，∴∠ABC＝∠ADC＝30°.又∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴AC＝AB＝5 cm.∴BC＝＝＝5(cm).
练习
1．教材P88　练习第1，3，4题．
2．如图，已知圆心角∠BOC＝100°，点A为优弧上一点，则圆周角∠BAC的度数为__50°__．
　　　
　　　　　　　(第2题图) 　 　 　(第3题图)
3．如图，OA为⊙O的半径，以OA为直径的⊙C与⊙O的弦AB相交于点D.若OD＝5 cm，则BE＝__10__cm__．
◆活动5　课堂小结
圆周角的定义、定理及推论．
1．作业布置
(1)教材P89　习题24.1第5，6，14题；
(2)对应课时练习．
2．教学反思

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