资源简介

24.1.3　弧、弦、圆心角
●情景导入　(1)观察图片，我们会发现圆绕着圆心旋转任意一个角度，所得的图形与原图形重合．
(2)如图①，∠AOB的顶点在圆心上，我们把顶点在圆心的角叫做圆心角．
(3)如图②，连接AB，圆心角∠AOB所对的弦为弦AB，所对的弧为，那么圆心角与它所对的弧、弦这三个量之间有什么关系呢？
【教学与建议】教学：通过实验操作，探索圆的旋转不变性与“如果两个圆心角相等，那么它们所对的弧、弦是不是相等”，激发学生的学习兴趣．建议：尽量让学生自己动手操作，引导学生得出等量关系．
●归纳导入　(1)圆是中心对称图形吗？它的对称中心在哪里？
【归纳】圆是中心对称图形，对称中心是O点．
(2)如图，将圆心角∠AOB绕圆心O旋转到∠A′OB′的位置，我们发现∠AOB__＝__∠A′OB′，弦AB__＝__A′B′，__＝__.
【教学与建议】教学：通过归纳中心对称图形的定义，引入圆这个中心对称图形和圆的旋转性质，得出圆心角、弧、弦之间的关系．建议：让学生操作试验，得出圆心角、弧、弦的等量关系．
命题角度1　利用弧、弦、圆心角之间的关系进行计算
在同圆或等圆中，两个相等圆心角，它们所对的弧、弦、弦心距对应相等．
【例1】(1)如图，如果AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，那么下列结论中，错误的是(D)
A．CE＝DE B．＝
C．∠BAC＝∠BAD D．AC＞AD
　　　
(2)如图，已知AB和CD是⊙O的两条等弦．OM⊥AB，ON⊥CD，垂足分别为点M，N，BA，DC的延长线交于点P.连接OP.下列四个说法中：①＝；②OM＝ON；③PB＝PD；④∠BPO＝∠DPO，其中正确的是__①②③④__．(填序号)
命题角度2　利用弧、弦、圆心角之间的关系进行证明
在同圆或等圆中，利用弧、弦、圆心角之间的关系定理证明圆心角、弧、弦相等.
【例2】(1)如图，AB为⊙O的直径，C，D是⊙O上的两点，且BD∥OC.求证：＝.
证明：∵OB＝OD，
∴∠D＝∠B.
∵BD∥OC，
∴∠D＝∠COD，∠AOC＝∠B，
∴∠AOC＝∠COD，
∴＝.
(2)如图，C，D是以AB为直径的⊙O上的两点，且OD∥BC.求证：AD＝DC.
证明：如图，连接OC.
∵OD∥BC，
∴∠1＝∠B，∠2＝∠3.
又∵OB＝OC，∴∠B＝∠3，
∴∠1＝∠2，∴AD＝DC.
高效课堂　教学设计
1．能识别圆心角．
2．探索并掌握弧、弦、圆心角的关系，了解圆的中心对称性和旋转不变性．
3．能用弧、弦、圆心角的关系解决圆中的计算题、证明题．
▲重点
探索圆心角、弧、弦之间的关系定理并利用其解决相关问题．
▲难点
圆心角、弧、弦之间关系定理中的“在同圆或等圆中”条件的理解及定理的证明．
◆活动1　新课导入
1．你能举出生活中的圆形商标的实例吗？(至少三个)
宝马车商标：　星巴克标志：　
曼秀雷敦标志：
2．把这些圆形图案绕圆心旋转一定的角度，你有什么发现？旋转前后圆中的弧、弦会有变化吗？
答：图案绕圆心旋转一定的角度后能与自身重合，旋转前后圆中的弧、弦不会有变化．
◆活动2　探究新知
1．材料P83　探究．
提出问题：
(1)把圆绕圆心旋转180°，所得图形与原图形重合吗？由此你得到什么结论？
(2)圆是中心对称图形吗？对称中心是什么？
(3)把圆绕圆心旋转任意一个角度，所得图形与原图形重合吗？
学生完成并交流展示．
2．教材P84　思考．
提出问题：
(1)我们把∠AOB连同绕圆心O旋转，使OA与OA′重合，旋转前后你能发现哪些等量关系？
(2)若∠AOB和∠A′OB′分别在两个相等的圆中，上述等量关系还存在吗？
(3)总结你所发现的规律；
(4)反过来，在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角、所对的弦有什么关系？如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角、所对的弧有什么关系？
◆活动3　知识归纳
1．顶点在__圆心__的角叫做圆心角，能够重合的圆叫做__等圆__；能够__重合__的弧叫做等弧；圆绕其圆心旋转任意角度都能够与原来的的图形重合，这就是圆的__旋转不变__性．
2．在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧__相等__，所对的弦也__相等__．
3．在同圆或等圆中，两个__圆心角__，两条__弦__，两条__弧__中有一组量相等，它们所对应的其余各组量也相等．
◆活动4　例题与练习
例1　教材P84　例3.
例2　下列说法正确吗？为什么？
(1)如图，因为∠AOB＝∠A′OB′，所以＝；
(2)在⊙O和⊙O′中，如果弦AB＝A′B′，那么＝.
解：(1)(2)都是不对的．在图中，因为不在同圆或等圆中，不能用定理．对于(2)也缺少了等圆的条件．
例3　如图，AD＝BC.求证：AB＝CD.
证明：∵AD＝BC，∴＝.
∵＝，∴＋＝＋.
∴＝.∴AB＝CD.
练习
1．教材P85　练习第1，2题．
2．如图，在⊙O中，已知弦AB＝DE，OC⊥AB，OF⊥DE，垂足分别为C，F，则下列说法中正确的有(　D　)
①∠DOE＝∠AOB；②＝；③OF＝OC；④AC＝EF.
　A．1个　　　　B．2个　　　　C．3个　　　　D．4个
3．如图，AB是⊙O的直径，＝，∠COD＝60°.
(1)△AOC是等边三角形吗？请说明理由；
(2)求证：OC∥BD.
解：(1)△AOC是等边三角形．
理由如下：∵＝，
∴∠AOC＝∠COD＝60°.
又∵OA＝OC，
∴△AOC是等边三角形；
(2)∵＝，∴OC⊥AD.
∵∠AOC＝∠COD＝60°，
∴∠BOD＝180°－(∠AOC＋∠COD)＝60°.
∵OD＝OB，∴△ODB为等边三角形．
∴∠ODB＝60°，
∴∠ODB＝∠COD＝60°，∴OC∥BD.
◆活动5　课堂小结
弧、弦、圆心角之间的关系是证明圆中等弧、等弦、等圆心角的常用方法．
1．作业布置
(1)教材P89　习题24.1第2，3题；
(2)对应课时练习．
2．教学反思

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