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23.2.3　关于原点对称的点的坐标
●置疑导入　(1)在平面直角坐标系中将坐标为(0，0)，(3，0)，(3，3)，(0，3)的点用线段依次连接起来，看看得到什么图形；
(2)如果把横坐标、纵坐标都乘－1，再将所得点用线段依次连接起来，所得图案与原来图案相比有什么变化？
【教学与建议】教学：该图案是一个正方形，横坐标与纵坐标都乘－1所得图案与原图案关于坐标原点中心对称．建议：将班级学生分组进行作图比赛．
●复习导入　(1)下列各点分别在坐标平面的什么位置上？
A(4，3)―→__第一象限__，
B(0，－4)―→__y轴上__，
C(－2，－3)―→__第三象限__，
D(－5，0)―→__x轴上__，
E(－2.6，3.6)―→__第二象限__，
F(3，－5)―→__第四象限__；
(2)在平面直角坐标系中，点(3，－4)关于x轴对称的点的坐标是__(3，4)__，关于y轴对称的点的坐标是__(－3，－4)__；
(3)在平面直角坐标系中，点A(2，－3)关于原点对称的点的坐标是什么？
【教学与建议】教学：通过回顾平面直角坐标系中点的坐标特征，加强新旧知识之间的联系．建议：在平面直角坐标系内作图分析，观察对称点与原坐标点的坐标特征．
命题角度1　关于原点对称的点的坐标特点
常见考题：①求已知点关于原点对称的点的坐标；②已知两点关于原点对称求有关代数式的值．
【例1】(1)在平面直角坐标系中，点P(2，－1)关于原点对称的点的坐标是　(D)
A．(2，－1) B．(－2，－1) C．(2，1) D．(－2，1)
(2)在平面直角坐标系中，第二象限内的点P(x2＋2x，3)与另一点Q(x＋2，y)关于原点对称，则x＋2y的值是__－7__．
命题角度2　在平面直角坐标系中作关于原点成中心对称的图形
利用关于原点对称点的坐标特征作关于原点成中心对称的图形．
【例2】如图，写出△ABC各点的坐标：A(－4，1)，B(－1，－1)，C(－3，2)，并作出△ABC关于原点O的对称图形△A′B′C′.
命题角度3　关于原点对称点的坐标规律应用
在平面直角坐标系中作图，根据各个象限坐标特点找出规律．
【例3】平面直角坐标系中，已知点A(2，3)，作点A关于y轴对称点A1，点A1关于原点对称点A2，点A2关于x轴对称点A3，点A3关于y轴对称点A4，点A4关于原点对称点A5…，按此规律，则点A2 023的坐标为__(－2，3)__．
坐标与图形的变化
(1)将坐标乘－1，变为相反数后的位置变化：
①将各点的横坐标都乘－1，纵坐标不变，所得的图形与原图形关于纵轴对称；
②将各点的纵坐标都乘－1，横坐标不变，所得的图形与原图形关于横轴对称．
(2)将坐标加上或乘同一个数后的位置变化：
将一个图形上的各点的横坐标都加同一常数，纵坐标不变，引起图形沿横轴平移；
将一个图形上的各点的纵坐标都加同一常数，横坐标不变，引起图形沿纵轴平移；
将一个图形上的各点的横、纵坐标都加同一常数，所得图形是原图形平移后的结果；
将一个图形上的各点的横坐标都乘同一常数，纵坐标不变，所得图形是原图形横向拉伸或缩短；
将一个图形上的各点的纵坐标都乘同一常数，横坐标不变，所得图形是原图形纵向拉伸或缩短；
将一个图形上的各点的横、纵坐标都乘同一常数，所得图形是原图形放大或缩小的结果．
注意：①把一个图形上的各点的横、纵坐标都乘n，所得图形的面积是原图形的n2倍；②以上关系反过来也成立．
高效课堂　教学设计
1．会求关于原点对称的点的坐标．
2．能运用关于原点成中心对称的点的坐标间的关系进行中心对称图形的变换．
▲重点
关于原点对称的点的坐标关系．
▲难点
关于原点对称的点的坐标关系的探索．
◆活动1　新课导入
1．点P(3，－6)关于x轴对称的点的坐标为(　B　)
A．(－3，6) B．(3，6) C．(－3，－6) D．(3，－6)
2．在平面直角坐标系中，已知点O(0，0)，A(1，3)，将线段OA向右平移3个单位长度，得到线段O1A1，则点O1的坐标是__(3，0)__，点A1的坐标是__(4，3)__．
3．点P(2 019，－2 020)关于y轴对称的点的坐标为__(－2__019，－2__020)__．
在学移变换和轴对称变换的时候，我们研究了在平面直角坐标系中点的平移规律和关于轴对称的点的坐标规律，那么关于原点对称的点的坐标有怎样的规律呢？请进入本课时的学习！
◆活动2　探究新知
1．教材P68　探究．
提出问题：
(1)填表：
已知点的坐标 A(4，0) B(0，－3) C(2，1) D(－1，2) E(－3，－4)
关于原点O对 称的点的坐标
(2)观察上表：①它们的横坐标与横坐标的绝对值有什么关系？纵坐标与纵坐标的绝对值又有什么关系？②坐标与坐标之间的符号又有什么特点？
(3)你能由此归纳出关于原点对称的点的坐标特征吗？
学生完成并交流展示．
2．教材P68　例2.
提出问题：
(1)回顾不在坐标系中，作△ABC关于点O对称的图形是怎样作的？
(2)由图可知A，B，C三点的坐标分别是什么？A，B，C三点关于原点对称的点的坐标分别是多少？把对称点标在坐标系内并顺次连接；
(3)总结作一个图形关于原点对称的图形的步骤．
学生完成并交流展示．
◆活动3　知识归纳
1．两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即P(x，y)关于原点的对称点为__P′(－x，－y)__．
2．在平面直角坐标系中，任一点A(x，y)关于坐标轴、原点都存在对称点．关于x轴的对称点的横坐标__相同__，纵坐标互为__相反数__．关于y轴的对称点的横坐标__互为相反数__，纵坐标__相同__．关于原点对称的点的横、纵坐标都__互为相反数__．如：点A(x，y)关于x轴的对称点为A′__(x，－y)__，关于y轴的对称点为A′′__(－x，y)__，关于原点对称的点为__(－x，－y)__．
◆活动4　例题与练习
例1　(1)在平面直角坐标系中，点P(7，－8)关于原点的对称点P′的坐标是__(－7，8)__；
(2)点P(2，n)与点Q(m，－3)关于原点对称，则(m＋n)2 020＝__1__；
(3)点M(5，－1)绕原点旋转180°后到达的位置是__(－5，1)__．
例2　四边形ABCD各顶点坐标分别为A(5，0)，B(－2，3)，C(－1，0)，D(－1，－5)，作出与四边形ABCD关于原点O对称的图形，并写出各点的对称点的坐标．
解：如图，四边形A′B′C′D′即为所求．点A，B，C，D的对称点的坐标分别为：A′(－5，0)，B′(2，－3)，C′(1，0)，D′(1，5).
例3　已知点M(2－a，b)与点N(－b－1，2)关于原点对称，求点M的坐标.
解：∵点M(2－a，b)与点N(－b－1，2)关于原点对称，
∴解得
∴点M的坐标为(－1，－2).
练习
1．教材P69　练习第1，2，3题．
2．若点P(－20，a)与点Q(b，13)关于原点对称，则a＋b的值是(　D　)
A．33 B．－33 C．－7 D．7
3．已知点P(a－3，2b＋4)与点Q(b＋5，3a－7)关于原点对称，则直线y＝ax＋b经过__一、三、四__象限．
4．如图，利用关于原点对称的点的坐标的特点，作与线段AB关于原点对称的图形．
解：线段AB的两个端点的坐标分别为A(1，3)，B(－2，1)，它们关于原点的对称点分别为A′(－1，－3)，B′(2，－1)，连接A′B′，A′B′就是AB关于原点对称的图形．
◆活动5　课堂小结
1．关于原点对称的点的坐标特征．
2．关于原点对称点的坐标特征的运用．
1．作业布置
(1)教材P70　习题23.2第3，4题；
(2)对应课时练习．
2．教学反思

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