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24.2.2　直线和圆的位置关系
第1课时　直线和圆的位置关系
●情景导入　请同学们在纸上画一条直线l，把硬币的边缘看作圆，在纸上移动硬币，观察直线和圆的公共点个数的变化情况．你能看出公共点最少有几个，最多有几个吗？
【教学与建议】教学：通过实践操作，建立几何模型．建议：分小组操作实践，引导学生观察、思考直线和圆的位置关系可以分为哪几类．
●类比导入　(1)复习点和圆的位置关系．设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d，如图：
点P在⊙O外 d__>__r，如图(a)所示；点P在⊙O上 d__＝__r，如图(b)所示；点P在⊙O内 d__<__r，如图(c)所示．
(2)如图，把硬币看作一个圆，由此你能归纳出直线和圆的位置关系吗？
【归纳】如图(a)，直线l和圆有两个公共点，这时我们说这条直线和圆__相交__，这条直线叫做圆的__割线__；
如图(b)，直线和圆只有一个__公共点__，这时我们说这条直线和圆__相切__，这条直线叫做圆的__切线__，这个点叫做__切点__；
如图(c)，直线和圆没有__公共点__，这时我们说这条直线和圆__相离__.
【教学与建议】教学：通过对点和圆的位置关系的回顾，类比发现直线和圆的位置关系．建议：由上节课点和圆的位置关系导入直线和圆的位置关系的三个对应等价关系．
命题角度1　判断直线和圆的位置关系
判断直线和圆的位置关系有两种方法：(1)直接根据定义，确定直线和圆的交点数；(2)判断直线与圆心的距离d与半径r的大小关系．
【例1】(1)已知⊙O的半径为5，圆心O到直线l的距离为3，则直线l与⊙O的位置关系为(A)
A．相交 B．相切 C．相离 D．无法确定
(2)⊙O的半径为5，点A在直线l上，若OA＝5，则直线l与⊙O的位置关系是__相切或相交__．
命题角度2　直线和圆的位置关系的逆向应用
这类题目常结合具体几何图形或在平面直角坐标系中综合考查．
【例2】(1)以点P(1，2)为圆心，r为半径画圆，与坐标轴有四个交点，则r的取值范围是__r＞2且r≠__．
(2)如图，半圆的圆心与坐标原点重合，半圆的半径为1，直线l的解析式为y＝x＋t.若直线l与半圆只有一个交点，则t的取值范围是__t＝或－1≤t＜1__．
数学中的“界”
唐朝诗人王维的诗句“大漠孤烟直，长河落日圆”，向我们形象地展示了直线和圆的三种位置关系——相离、相切、相交．如果我们从时间的维度来看三种位置关系的话，在日落过程中，相切可以说是转瞬即逝，这是相离和相交的分界点，由此你联想到了哪些数学知识呢？数字中的“0”也有着类似的地位，它是正数和负数的分界点；数轴上的原点，它是正、负半轴的分界；平面直角坐标系中的坐标轴是各个象限之间的分界等等．它们都具有“界”的特性，是数学研究的重要内容．
高效课堂　教学设计
1．通过操作、观察，理解直线和圆有三种位置关系．
2．根据圆心到直线的距离与半径之间的数量关系判定直线和圆的位置关系．
3．经历探索直线和圆的位置关系的判定和专题训练，体验从运动观点以及量变到质变的过程理解直线和圆三种位置关系．
▲重点
直线和圆的位置关系的判定．
▲难点
直线和圆的位置关系的判定．
◆活动1　新课导入
动手操作：用圆规在纸上画一个圆，然后将一个三角板的一条边沿某一直线方向由远到近逐渐向这个圆靠近，直至三角板完全远离这个圆，在此过程中，你发现这条边与圆的公共点的个数有3种情况，分别是__0__个公共点，__1__个公共点，__2__个公共点．
◆活动2　探究新知
1．教材P95　思考．
提出问题：
(1)直线和圆的公共点个数最少时有几个？最多时有几个？
(2)根据上面你观察发现的结果，你认为直线与圆的位置关系可以分为几类？你分类的依据是什么？分别把它们的图形在草稿纸上画出来；
(3)在刚才的过程中，除了公共点的个数发生了变化外，还发现有什么量也在改变？它与圆的半径有什么样的数量关系？
(4)怎样用d(圆心与直线的距离)来判定直线与圆的位置关系呢？
学生完成并交流展示．
◆活动3　知识归纳
1．直线和圆有__两__个公共点时，该直线和圆相交，直线叫做圆的__割线__．
2．直线和圆有__一__个公共点时，该直线和圆相切，直线叫做圆的__切线__，这个点叫做__切点__．
3．直线和圆有__零__个公共点时，直线和圆相离．
4．设⊙O的半径为r，直线l到圆心O的距离为d，则有：直线l和⊙O相交 __d◆活动4　例题与练习
例1　在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝4 cm，BC＝2 cm，以点C为圆心，r为半径的圆与AB有何种位置关系？请你写出判断过程．
(1)r＝1.5 cm; (2)r＝ cm; (3)r＝2 cm.
解：如图，过点C作CD⊥AB，垂足为D.
∵AB＝4 cm，BC＝2 cm，
∴AC＝2 cm.
又∵S△ABC＝AB·CD＝BC·AC，
∴CD＝＝＝(cm).
(1)r＝1.5 cm时，相离；
(2)r＝ cm时，相切；
(3)r＝2 cm时，相交．
例2　如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，∠C＝60°，BO＝x，⊙O的半径为2.当x在什么范围内取值时，AB所在的直线与⊙O相交、相切、相离？
解：过点O作OD⊥AB于点D.
∵∠A＝90°，∠C＝60°，∴∠B＝30°，
∴OD＝BO＝x.
当AB所在的直线与⊙O相切时，OD＝r＝2.
∴BO＝4.
∴04时，相离．
练习
1．教材P96　练习．
2．已知⊙O的半径为2，圆心O到直线l的距离为d，若直线l与⊙O相切，则以d，r为根的一元二次方程可能为(　D　)
　A．x2－4x＝0　　　　　　B．x2＋6x＋9＝0
　C．x2－3x＋2＝0 D．x2－4x＋4＝0
3．如图，在直角坐标系中，⊙O的半径为1，则直线y＝－x＋与⊙O的位置关系是__相切__．
　　　
4．如图，直线AB，CD相交于点O，∠AOC＝30°，半径为1 cm的⊙P的圆心在射线OA上，且与点O的距离为6 cm.如果⊙P以1 cm/s的速度沿A向B的方向移动，则经过__4或8__s后，⊙P与直线CD相切．
◆活动5　课堂小结
1．直线与圆的三种位置关系．
2．根据圆心到直线的距离d与半径r的大小关系，判断出直线与圆的位置关系．
1．作业布置
(1)教材P101　习题24.2第2题；
(2)对应课时练习．
2．教学反思

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