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第2课时　切线的判定与性质
●置疑导入　(1)用一根细线系一个小球，当你快速转动细线时，小球运动形成一个圆，突然，这个小球脱落，沿着圆的边缘飞出去，你知道小球顺着什么方向飞出去了吗？
(2)如图①，下雨天，快速转动雨伞时，雨伞上的水珠是顺着什么方向飞出去的？
(3)观察图②，过⊙O上一点A作直线l，则直线l与⊙O有哪几种位置关系？
(4)观察图③，当所作直线l与OA垂直时，直线l与⊙O有怎样的位置关系？
　　 　　
【教学与建议】教学：通过常见实际问题引入直线和圆相切，并通过作图来观察、探究切线．建议：在探究切线的判定方法时，讲解“经过半径的外端”“垂直于这条半径”这两个条件缺一不可．
●复习导入　(1)填写直线和圆的位置关系表：
直线和圆的位置关系 相交 相切 相离
公共点的个数 __2__ __1__ __0__
公共点名称 __交点__ __切点__
直线名称 __割线__ __切线__
圆心到直线的距离d与r的关系 __dr__
　　(2)画出⊙O，在圆周上找一点A，经过半径OA的外端点A作直线l⊥OA，则圆心O到直线l的距离是多少？直线l和⊙O有什么位置关系？
(3)如果直线l是⊙O的切线，切点为A，那么半径OA与直线l是不是一定垂直呢？
【教学与建议】教学：通过对直线和圆的位置关系的回顾，探究问题，得出切线的判定定理和性质定理．建议：让学生通过画图体会定理的正确性．
命题角度1　切线的判定
证明直线与圆相切有如下三种途径：(1)定义法；(2)证明d＝r；(3)判定定理．
【例1】(1)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AO是△ABC的角平分线，以O为圆心，OC为半径作⊙O.求证：AB是⊙O的切线．
证明：过点O作OF⊥AB于点F.
∵AO平分∠CAB，OC⊥AC，OF⊥AB，
∴OC＝OF，
∴AB是⊙O的切线．
(2)如图，AB为⊙O的直径，AB＝AC，BC与⊙O交于点D，且DE⊥AC.求证：DE是⊙O的切线．
证明：连接AD，DO.
∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°.
∵AB＝AC，∴BD＝CD.
∵AO＝BO，∴OD是△ABC的中位线，∴OD∥AC.
∵DE⊥AC，∴OD⊥DE.
∵OD是⊙O的半径，∴DE是⊙O的切线．
命题角度2　切线的综合运用
已知直线是圆的切线时，通常需要连接圆心和切点，构造出直角三角形．
【例2】(1)如图，AB是⊙O的直径，点P在BA的延长线上，过点P作⊙O的切线PC，切点为C.连接BC，若⊙O的半径为6，PC＝BC，则线段PC的长为(C)
A．3 B．6 C．6 D．12
(2)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，点O在AB上，OB＝2，以OB为半径的⊙O与AC相切于点D，交BC于点E，求弦BE的长．
解：连接OD.∵⊙O与AC相切于点D，
∴OD⊥AC，∴∠ODC＝90°.
作OF⊥BE于点F，∴∠OFC＝90°，BE＝2BF.
∵∠C＝90°，∴∠ODC＝∠C＝∠OFC＝90°，
∴四边形ODCF是矩形，∴FC＝OD＝OB＝2，
∴BF＝BC－FC＝3－2＝1，∴BE＝2BF＝2.
高效课堂　教学设计
1．掌握切线的判定定理，能判定一条直线是否为圆的切线．
2．掌握切线的性质定理．
3．能综合运用圆的切线的判定和性质解决问题．
▲重点
探索圆的切线的判定和性质，并能运用．
▲难点
探索圆的切线的判定方法．
◆活动1　新课导入
在上面三个图中，直线l和圆的三种位置关系分别是__相交__、__相切__、__相离__．
◆活动2　探究新知
1．教材P97　第1个思考．
提出问题：
(1)已知一个圆和圆上的一点，如何过这个点画出圆的切线？能画几条？
(2)观察下面两个图形，直线l是圆的切线吗？判定直线是圆的切线的两个关键点是什么？
　　　
(3)请总结一下判定切线共有哪几种方法？
学生完成并交流展示．
2．教材P97　第2个思考．
提出问题：
(1)尝试用反证法证明你的结论；
(2)用简洁的语言总结出你刚刚得到的结论．
学生完成并交流展示．
◆活动3　知识归纳
1．切线的判定定理：经过半径的__外端__并且__垂直于__这条半径的直线是圆的切线．
2．切线的性质：①切线和圆只有__一个__公共点；②切线到圆心的距离等于__半径__；③圆的切线__垂直于__过切点的半径．
3．当已知一条直线是某圆的切线时，切点的位置是确定的，辅助线常是连接__圆心__和__切点__，得到半径，那么半径__垂直于__切线．
◆活动4　例题与练习
例1　教材P98　例1.
例2　如图，点O在∠APB的平分线上，⊙O与PA相切于点C.
求证：直线PB与⊙O相切．
证明：过点O作OD⊥PB于点D，连接OC.
∵⊙O与PA相切于点C，∴OC⊥PA.
又∵点O在∠APB的平分线上，
∴OC＝OD，∴直线PB与⊙O相切．
例3　如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD和过点C的切线互相垂直，垂足为D.求证：AC平分∠DAB.
证明：连接OC.
∵⊙O和直线CD相切，∴OC⊥CD.
∵AD⊥CD，∴AD∥OC.∴∠ACO＝∠CAD.
∵OA＝OC，∴∠ACO＝∠OAC，
∴∠DAC＝∠CAO.
∴AC平分∠DAB.
练习
1．教材P98　练习第1，2题．
2．在正方形ABCD中，点P是对角线AC上的任意一点(不包含端点)，以P为圆心的圆与AB相切，则AD与⊙P的位置关系是(　B　)
　A．相离　　　　B．相切　　　　C．相交　　　　D．不能确定
3．如图，A，B是⊙O上的两点，AC是过点A的一条直线．如果∠AOB＝120°，那么当∠CAB的度数等于__60°__时，AC才能成为⊙O的切线．
　　　
4．如图，AB是⊙O的直径，点D在AB的延长线上，DC切⊙O于点C.若∠A＝25°，则∠D＝__40°__．
◆活动5　课堂小结
1．用圆的切线时，常常连接圆心和切点得切线垂直于半径．
2．“连半径证垂直”与“作垂直证半径”——判定直线与圆相切．
(1)当直线与圆有公共点时，只需“连半径、证垂直”即可；
(2)当已知条件中没有指出圆与直线有公共点时，常运用“d＝r”进行判断，辅助线的作法是过圆心作已知直线的垂线，证明垂线段的长等于半径．
1．作业布置
(1)教材P101　习题24.2第3，4，5题；
(2)对应课时练习．
2．教学反思

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