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第3课时　切线长定理和三角形的内切圆
●情景导入　同学们玩过悠悠球(如图①)吗？大家在玩悠悠球时是否想到过它在转动过程中还包含着数学知识呢？图②是悠悠球在转动的一瞬间的剖面示意图，从中你能抽象出什么样的数学图形？这些图形的位置关系是怎样的？
　　　
【教学与建议】教学：通过悠悠球抽象出几何模型，并进一步导入切线长及切线长定理．建议：教师在课前准备一个悠悠球，在课堂上直接展示．
●归纳导入　[操作]第一步：在透明纸上画出⊙O，并画出过⊙O上点A的切线PA，连接PO.
第二步：沿着直线PO将纸对折，并用笔标出与点A重合的点，记为点B(如图)．
问题：(1)PB是⊙O的切线吗？
(2)判断图中的PA与PB，∠APO与∠BPO有什么关系．
发现：PA＝PB，∠APO＝∠BPO.
【归纳】从圆外一点可以引圆的__两条__切线，它们的切线长__相等__，这一点和圆心的连线__平分__两条切线的夹角．
【教学与建议】教学：通过实际动手操作，学生发现数学条件，进而解决问题．建议：学生操作并思考回答问题，发挥学生学习的主动性．
命题角度1　切线长定理的运用
在运用切线长定理解决实际问题时，往往需要构建如图所示的基本图形．
【例1】(1)如图，PA，PB分别是⊙O的切线，A，B为切点，AC是⊙O的直径，若∠BAC＝35°，则∠P的度数为(D)
A．35° B．45° C．60° D．70°
　　　
(2)如图，四边形ABCD是⊙O的外切四边形，且AB＝10，CD＝12，则四边形ABCD的周长为__44__．
命题角度2　三角形内切圆
三角形的内切圆常与切线长定理结合使用，注意内心与外心、重心的区别．
【例2】(1)如图，在△ABC中，∠A＝60°，点I是△ABC的内心，则∠BIC的度数为(C)
A．112° B．110° C．120° D．130°
　　　
(2)如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，则△ABC的内切圆半径r＝__1__．
三角形的“心”
我们经常说要做个“有心”的人，在多边形的世界里，三角形就是一个非常“有心”的图形．三角形共有五种“心”．
(1)重心：三条中线的交点；
(2)外心：三边中垂线的交点，是三角形外接圆圆心的简称；
(3)内心：三条角平分线的交点，是三角形内切圆圆心的简称；
(4)垂心：三条高的交点，垂心的位置随三角形类型的不同而发生变化；
(5)旁心：三角形旁切圆圆心的简称，它是三角形一个内角的平分线和其他两个内角的外角平分线的交点，显然，任何三角形都有三个旁切圆，三个旁心．当且仅当三角形为正三角形时，“重心、外心、内心、垂心”四心合一，称为正三角形的中心．
高效课堂　教学设计
1．通过动手操作、度量、猜想、验证，理解切线长的概念，掌握切线长定理；知道三角形的内切圆和三角形的内心的概念．
2．通过对例题的学习，养成分析问题、总结问题的习惯，提高综合运用知识和解决问题的能力，掌握数形结合的思想．
▲重点
切线长定理及其应用，三角形的内切圆和三角形内心的概念．
▲难点
与切线长定理有关的证明和计算问题；三角形内切圆的计算问题.
◆活动1　新课导入
1．直线和圆有哪几种位置关系？怎样判断它们的位置关系？
答：三种，d>r，相离；d＝r，相切；d2．你觉得这几种位置关系哪种最特殊？为什么？
答：相切，略．
◆活动2　探究新知
1．教材P99　探究．
(1)判断△PBO与△PAO的形状，并说明理由；
(2)求证：△PAO≌△PBO；
(3)由△PAO≌△PBO，可以得出哪些结论？
学生完成并交流展示．
2．教材P99　思考．
提出问题：
(1)三角形内切圆的圆心具有什么性质？
(2)如何确定三角形内切圆的圆心？请画出△ABC的内切圆．
学生完成并交流展示．
◆活动3　知识归纳
1．经过圆外一点作圆的切线，这点和__切点__之间的线段长叫做切线长．
2．从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长__相等__，这一点和圆心的连线平分__两条切线__的夹角，这就是切线长定理．
3．与三角形各边都__相切__的圆叫做三角形的内切圆．
4．三角形内切圆的圆心是三角形__三条角平分线__的交点，叫做三角形的__内心__，它到三边的距离__相等__．
◆活动4　例题与练习
例1　教材P100　例2.
例2　为了测量一个圆形铁环的半径，某同学采用了如下办法：将铁环平放在水平桌面上，用一个锐角为30°的三角板和一个刻度尺，按如图所示的方法得到相关数据，进而可求得铁环的半径，若三角板与圆相切且测得PA＝5 cm，求铁环的半径．
解：设圆心为O，连接OA，OP.
∵三角板有一个锐角为30°，∴∠PAO＝60°.
又∵PA与⊙O相切，∴∠OPA＝90°，
∴∠POA＝30°.
∵PA＝5 cm，
∴OP＝5 cm.
即铁环的半径为5 cm.
例3　如图，PA，PB分别切⊙O于点A，B，BC为⊙O的直径．
(1)求证：AC∥OP；
(2)若∠APB＝60°，BC＝8 cm，求AC的长．
解：(1)连接OA.∵PA，PB分别切⊙O于点A，B，
∴OA⊥PA，OB⊥PB，OP平分∠APB，
∴∠PAO＝∠PBO＝90°，∠APO＝∠BPO，
∴∠POA＝∠POB.
∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA.
∵∠BOA＝∠OAC＋∠OCA，∴∠BOA＝2∠OCA，
∴∠POB＝∠OCA，∴AC∥OP；
(2)连接AB.易证△PAB为等边三角形，∴∠PBA＝60°.
由(1)，得∠PBO＝90°，∴∠ABO＝30°.
∵BC为⊙O的直径，∴∠BAC＝90°.
∵BC＝8 cm，∴AC＝4 cm.
练习
1．教材P100　练习第1，2题．
2．如图，过⊙O外一点P引⊙O的两条切线PA，PB，切点分别是A，B，OP交⊙O于点C，点D是优弧上不与点A、点C重合的一个动点，连接AD，CD.若∠APB＝80°，则∠ADC的度数是(　C　)
A．15° B．20° C．25° D．30°
　　
3．如图，点O是△ABC的内切圆的圆心，若∠BAC＝80°，则∠BOC等于(　A　)
A．130° B．120° C．100° D．90°
4．如图，⊙O切△ABC的边BC于点D，切AB，AC的延长线于点E，F，若△ABC的周长为20，则AE＝__10__．
◆活动5　课堂小结
切线长定理，三角形的内切圆及内心，直角三角形内切圆半径公式．
1．作业布置
(1)教材P101～102　习题24.2第6，11，14题；
(2)对应课时练习．
2．教学反思

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