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24.2　点和圆、直线和圆的位置关系
24．2.1　点和圆的位置关系
●悬念激趣　我国射击运动员在奥运会上屡获金牌，为祖国赢得荣誉．如图是射击靶的示意图，它是由许多同心圆(圆心相同、半径不等的圆)构成的，你知道击中靶上不同位置的成绩是怎样计算的吗？
(1)要解决上面的问题需要研究点和圆的位置关系．
(2)点和圆有三种位置关系：点在圆内、点在圆上、点在圆外．
(3)射击成绩用弹着点位置对应的环数表示．弹着点与靶心的距离决定了它在哪个圆内．
【教学与建议】教学：创设悬念使学生对射击比赛规则及我国射击运动员所取得的成就有所了解，增强民族自豪感．建议：探索点和圆的位置关系时，可通过画图来分析．
●归纳导入　(1)如图，足球运动员踢出的球在球场上滚动，在其穿越中间圆形区域的过程中，足球与这个圆有怎样的位置关系？
(2)将足球看成一个点，这个点和圆具有怎样的位置关系？
(3)在同一平面内，点和圆有几种位置关系？
　　 　　
【归纳】设⊙O的半径为r，OP＝d，点和圆的位置关系是：点P在圆内 __d＜r__；点P在圆上 __d＝r__；点P在圆外 __d＞r__．
【教学与建议】教学：通过踢足球的情景引入，激发学生的学习兴趣．建议：教师引导学生观察图形，然后小组内讨论、归纳出判断点和圆的位置关系的方法．
命题角度1　判断点和圆的位置关系
在判断点和圆的位置关系时，只需比较点到圆心的距离d与半径r的大小即可．
【例1】(1)已知⊙O的半径为6 cm，若OP＝5 cm，则点P与⊙O的位置关系是(C)
A．点P在⊙O外 B．点P在⊙O上
C．点P在⊙O内 D．不能确定
(2)若⊙A的半径为5，圆心A的坐标为(3，4)，点P的坐标为(5，8)，则点P的位置为(A)
A．在⊙A内 B．在⊙A上 C．在⊙A外 D．不确定
命题角度2　点和圆的位置关系的逆向应用
根据点和圆的位置关系，求半径的取值范围．
【例2】(1)一点和⊙O上的最近点距离为4 cm，最远点距离为9 cm，则这个圆的半径是__6.5__cm或2.5__cm__．
(2)已知矩形ABCD的边AB＝6 cm，AD＝8 cm，以点A为圆心作⊙A，使B，C，D三点至少有一个在圆内，且至少有一个在圆外，求⊙A的半径r的取值范围．
解：由题意，得AC＝＝10(cm)，∴6 cm命题角度3　不在同一直线上的三个点确定一个圆
题型主要有两种，一是已知不在同一直线上的三点绘制一个圆；二是已知三角形求它的外接圆半径．
【例3】小明不慎把家里的圆形镜子打碎了(如图)，其中四块碎片如图所示，为了配到与原来大小一样的圆形镜子，小明带到商店去的碎片应该是(A)
A．① B．② C．③ D．④
命题角度4　三角形的外接圆与外心
根据三角形外接圆的定义确定三角形的外心，利用外心是三角形三边垂直平分线的交点解决线段、角度相等问题．
【例4】
(1)如图所示的正方形网格中，A，B，C三点均在格点上，那么△ABC的外接圆圆心是(C)
A．点E B．点F
C．点G D．点H
(2)如图，⊙O的半径为5，△ABC是⊙O的内接三角形，过点C作CD⊥AB于点D.若CD＝3，AC＝6，则BC的长为__5__．
命题角度5　反证法
这类题目一般只考查假设的第一步．反证法证明一般有三个步骤：(1)假设命题的结论不成立；(2)推理得出矛盾；(3)肯定原命题的结论成立．
【例5】用反证法证明时，假设结论“点在圆外”不成立，那么点与圆的位置关系只能是__点在圆上或圆内__．
欧几里得喜爱的证法
英国著名的数学家哈代说过：“欧几里得所喜爱的间接法(反证法)是数学最好的武器之一，它比象棋中任何的‘丢卒保车’走法都高明．因为一个棋手提供牺牲的只是一兵一卒，而一个数学家提供的是整个求证的目标．”反证法是一种间接证法，它可以分为两种：如果所要证明的结论，它的反面只有一种情况就叫归谬法；如果结论的反面有两种以上情况就叫穷举法．
高效课堂　教学设计
1．弄清点和圆的三种位置关系及数量间的关系．
2．探究过点画圆的过程，掌握过不在同一条直线上三点画圆的方法．
3．了解运用反证法证明命题的思想方法．
▲重点
过不在同一条直线上的三点作圆．
▲难点
探究过三点作圆的过程，明白过同一条直线上的三点不能作圆的道理．
◆活动1　新课导入
1．圆的大小由__半径__确定；位置由__圆心__确定．
2．线段垂直平分线上的点到线段两个__端点__的距离__相等__．
3．到线段两端点的距离相等的点在线段的__垂直平分线__上．
◆活动2　探究新知
1．教材P92　问题．
提出问题：
(1)请测量图24.2－2中OA，OB，OC的长度，并比较它们的大小；
(2)如何判断点与圆的位置关系，需要比较什么？
学生完成并交流展示．
2．教材P93　探究、思考．
提出问题：
(1)作圆，使圆经过两个已知点A，B，你是如何作的？你能作出几个这样的圆？其圆心的分布有什么特点？与线段AB有什么关系？为什么？
(2)作圆，使该圆经过三个已知点A，B，C(其中A，B，C三点不在同一条直线上)，你是如何作的？你能作出几个这样的圆？
(3)探究锐角三角形、直角三角形和钝角三角形的外心的位置．
学生完成并交流展示．
3．教材P94　思考及以下内容．
提出问题：
(1)经过不在同一条直线上的三点A，B，C作⊙O，圆心O如何确定？请作出该圆；
(2)请用反证法证明：经过不在同一条直线上的三点能作出一个圆；
(3)总结用反证法证明的步骤．
学生完成并交流展示．
◆活动3　知识归纳
1．设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d，则有：点P在圆外 __d>r__；点P在圆上 __d＝r__；点P在圆内 __d2．经过已知点A可以作__无数__个圆，经过两个已知点A，B可以作__无数__个圆，它们的圆心在__线段__AB的垂直平分线__上；经过不在同一条直线上的A，B，C三点可以作__一__个圆．
3．经过三角形的__三个顶点__的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形三条边的__垂直平分线__的交点，叫做这个三角形的外心．
锐角三角形的外心在三角形__内部__；直角三角形的外心在三角形__斜边的中点__；钝角三角形的外心在三角形__外部__；任意三角形的外接圆有__一__个，而一个圆的内接三角形有__无数__个．
4．用反证法证明命题的一般步骤：①假设命题的结论不成立；②从这个假设出发，经过推理论证得出矛盾；③由矛盾判定所作假设不正确，从而得到原命题成立．
◆活动4　例题与练习
例1　如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝12，AB＝13，CD⊥AB于点D，以点C为圆心，5为半径作⊙C，试判断A，D，B三点与⊙C的位置关系．
解：在Rt△ABC中，由勾股定理，得BC＝＝＝5，∴点B在⊙C上．∵S△ABC＝AC·BC＝AB·CD，∴CD＝＝＝<5，∴点D在⊙C内．又∵AC＝12>5，∴点A在⊙C外．
例2　
如图所示的是残缺的破圆形轮片，如何找此残片所在的圆的圆心．(不写作法，保留作图痕迹)
解：在弧上任意找两条弦，分别作它们的垂直平分线，两条垂直平分线的交点即是圆心．图略．
例3　用反证法证明：若∠A，∠B，∠C是△ABC的三个内角，则其中至少有一个角不大于60°.
证明：假设∠A，∠B，∠C都大于60°.则有∠A＋∠B＋∠C>180°，这与三角形的内角和等于180°相矛盾．因此假设不成立，即∠A，∠B，∠C中至少有一个角不大于60°.
练习
1．教材P95　练习第1，2，3题．
2．在直角坐标系中，”A，⊙B的位置如图所示．下列四个点中，在⊙A外部且在⊙B内部的是(　C　)
　A．(1，2)　　　　　　B．(2，1)
　C．(2，－1)　　　　　D．(3，1)
3．在平面直角坐标系中，⊙A的半径是4，圆心A的坐标是(2，0)，则点P(－2，1)与⊙A的位置关系是__点P在⊙A外部__．
◆活动5　课堂小结
1．点与圆的三种位置关系．
2．三角形外接圆及三角形的外心的概念．
1．作业布置
(1)教材P101　习题24.2第1题；
(2)对应课时练习．
2．教学反思

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