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24.3　正多边形和圆
●情景导入　(1)我国古代数学家刘徽，在公元三世纪用“割圆术”求得π的近似值为≈3.14，祖冲之在公元五世纪又进一步求得π的值在3.141 592 6与3.141 592 7之间，现代利用电子计算机，已有人把π的值算到小数点后几十万位．它是从圆内接正六边形开始，逐步计算所得的结果．
(2)在同圆或等圆中，等弧所对的弦__相等__，所对的圆周角__相等__.
(3)你知道正多边形和圆有什么关系吗？给你一个圆，怎样作出一个正多边形？
【教学与建议】教学：通过对“割圆术”的导入，激发学生的学习兴趣和探究新知的欲望．建议：先让学生自己归纳前面所学的圆的有关概念性质．
●置疑导入　问题(1)：观察下面多边形，找出它们的边、角有什么特点？
问题(2)：观看大屏幕上这些美丽的图案，都是在日常生活中我们经常能看到的，你能从这些图案中找出正多边形来吗？
【教学与建议】教学：通过对等边三角形、正方形的回顾，加强新旧知识之间的联系．建议：让学生举例生活中的正多边形．
命题角度1　正多边形的有关概念
正多边形有各边相等、各角相等、边心距相等等特征．
【例1】(1)如果一个正多边形的中心角为72°，那么这个正多边形的边数是　(B)
A．4 B．5 C．6 D．7
(2)在半径为R的圆上依次截取长度等于R的弦，顺次连接各点得到的多边形是__正六边形__．
命题角度2　与正多边形有关的计算
正多边形问题中常涉及求正多边形的边长、半径、边心距、中心角、周长和面积等．
【例2】(1)正三角形的高、外接圆半径、边心距之比为(A)
A．3∶2∶1 B．4∶3∶2
C．4∶2∶1 D．6∶4∶3
(2)同圆的内接正三角形面积与内接正六边形面积之比是(B)
A．1∶ B．1∶2 C．∶ D．1∶3
(3)若正方形的边长为6，则其外接圆半径与内切圆半径的大小分别为__3，3__．
命题角度3　画正多边形
圆内接正多边形的两种画法：(1)用量角器等分圆周法作正多边形；(2)用尺规作图法作特殊正多边形．
【例3】利用手中的工具求作一个边长为3 cm的正六边形．(不写作法)
解：
　　　
高效课堂　教学设计
1．学习正多边形的概念，探索正多边形和圆的关系．
2．能进行正多边形的有关计算，了解正多边形的中心、半径、边心距、中心角等概念，通过等分圆周作正多边形．
▲重点
探索正多边形和圆的关系，了解有关概念；会进行计算．
▲难点
探索正多边形和圆的关系，正多边形的半径、边心距、中心角、边长之间的关系．
◆活动1　新课导入
1．前面我们学习了几种与圆有关的位置关系，同学们想一想是哪几种呢？
2．谁能说说正多边形的定义呢？你能举出一些这样的例子吗？
3．正多边形和圆有什么关系呢？
◆活动2　探究新知
1．教材P105.
提出问题：
(1)如果将圆n等分，依次连接各分点得到一个n边形，这个n边形一定是正n边形吗？
(2)各边相等的圆内接多边形是正多边形吗？各角相等的圆内接多边形是正多边形吗？
(3)正多边形的内角、中心角、外角怎样计算？填空：
正多边形边数 内角 中心角 外角
3
4
6
n
(4)正多边形的中心角与外角的大小有什么关系？
学生完成并交流展示．
2．教材P106　例题．
提出问题：
(1)例题中正多边形的周长是如何计算的？
(2)例题中正多边形的面积是如何计算的？
学生完成并交流展示．
3．教材P107.
提出问题：
(1)如何画正多边形？
(2)画正三角形、正方形还有哪些方法？
学生完成并交流展示．
◆活动3　知识归纳
1．一个正多边形的各个顶点都在一个圆上，则这个正多边形就是这个圆的__内接多边形__，圆叫做这个多边形的__外接圆__．
2．一个正多边形的外接圆的__圆心__叫做正多边形的中心．
3．外接圆的__半径__叫做正多边形的半径．
4．正多边形每一边所对的__圆心角__叫做正多边形的中心角．
5．中心到正多边形的一边的__距离__叫做正多边形的边心距．
◆活动4　例题与练习
例1　如图，在⊙O中，A，B，C，D，E是⊙O的五等分点．依次连接ABCDE形成五边形．
问：五边形ABCDE是正五边形吗？如果是，请证明你的结论．
解：五边形ABCDE是正五边形．证明如下：
在⊙O中，∵＝＝＝＝，
∴AB＝BC＝CD＝DE＝EA，＝＝3，
∴∠A＝∠B；同理∠B＝∠C＝∠D＝∠E.
又∵五边形ABCDE的顶点都在⊙O上，
∴五边形ABCDE是正五边形．
例2　已知正六边形的半径为R，求正六边形的边长、边心距和面积．
解：如图，∵正六边形的中心角为60°，
∴∠AOB＝60°.∵OA＝OB，
∴△OBA是等边三角形．∴AB＝OA＝R.
过点O作OM⊥AB于点M，则AM＝R.
在Rt△OAM中，OM＝＝R.
∴S正六边形＝6S△OBA＝6×AB·OM＝3R·R＝R2.
练习
1．教材P108　练习第1，2题．
2．正三角形的边心距、半径和高的比为(　D　)
　A．1∶2∶　　　　　　B．1∶∶3
　C．1∶∶ D．1∶2∶3
3．如图，正六边形的内切圆的半径OD＝ cm，则它的中心角∠AOB＝__60°__，边长AB＝__2__cm，正六边形的面积S＝__6__cm2.
◆活动5　课堂小结
1．正多边形与圆的关系．
2．正多边形的半径、中心角、边长、边心距的计算及其之间的等量关系．
3．画正多边形的方法．
1．作业布置
(1)教材P108　习题24.3第1，2，3，4题；
(2)对应课时练习．
2．教学反思

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