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第二十二章　二次函数
22．1　二次函数的图象和性质
22．1.1　二次函数
●归纳导入　(1)圆的半径是r(cm)时，面积S(cm2)与半径r(cm)之间的函数关系是__S＝πr2__．
(2)一个边长为5 cm的正方形，若它的边长增加x cm，则面积随之增加y cm2，y关于x的函数解析式是__y＝x2＋10x__．
(3)某种产品现在的年产量是20 t，计划今后两年增加产量．如果每年都比上一年的产量增加x倍，那么两年后这种产品的产量y将随计划所定的x的值而确定，y与x之间的函数关系是__y＝20x2＋40x＋40__．
【归纳】形如y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，a≠0)的函数，叫二次函数．
【教学与建议】教学：本处设计了三个问题，归纳解析式的特点，讲解二次函数的定义．建议：启发学生归纳出解析式的特点．
●类比导入　形如ax＋b＝0(a≠0)的方程叫做一元一次方程，令y＝ax＋b，则y＝ax＋b(a≠0)为一次函数．
经过上一章的学习，我们知道形如ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的方程叫做一元二次方程．如果我们令y＝ax2＋bx＋c，你会给y＝ax2＋bx＋c(a≠0)命名吗？
【教学与建议】教学：从学生已经熟悉的一元一次方程、一次函数出发，类比导入二次函数．建议：注意“一次”和“二次”，从而类比归纳．
命题角度　利用二次函数的概念求待定字母的值或取值范围
形如y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，a≠0)的式子是二次函数，需满足两个条件：①自变量x的最高次数是2；②二次项系数a≠0.
【例】(1)若函数y＝(m－1)x2＋3x＋1是关于x的二次函数，则有(B)
A．m≠0 B．m≠1 C．x≠0 D．x≠1
(2)若函数y＝(2－m)xm2－2是关于x的二次函数，则m的值是__－2__.
高效课堂　教学设计
1．能结合具体情境体会二次函数的意义，理解二次函数的有关概念.
2．能够表示简单变量之间的二次函数关系．
▲重点
结合具体情境体会二次函数的意义，掌握二次函数的有关概念．
▲难点
1．能通过生活中的实际问题情境，构建二次函数关系．
2．重视二次函数y＝ax2＋bx＋c中a≠0这一隐含条件．
◆活动1　新课导入
1．一次函数的一般形式：__y＝kx＋b(k≠0)__．
2．正比例函数的一般形式：__y＝kx(k≠0)__．
3．想一想：正方体六个面是全等的正方形，设正方体的棱长为x，表面积为y，则y与x之间有什么关系呢？
通过本节课的学习我们将能知道y与x的关系，并能用式子把它们之间的关系表达出来，下面就让我们进入本节课的学习．
◆活动2　探究新知
1．教材P28　问题1.
提出问题：
(1)“n个球队参加比赛，每两个队之间进行一场比赛”，比赛的总场次是n(n－1)场，还是n(n－1)场，为什么？
(2)式子m＝n2－n，m是n的函数吗？为什么？
学生完成并交流展示．
2．教材P28　问题2.
提出问题：
(1)问题中前后两年的产量间存在怎样的关系？
(2)原产量为20 t，一年后的产量是多少？两年后的产量是多少？
(3)对式子y＝20(1＋x)2，y是x的函数吗？
(4)教材中的函数①，②，③有什么共同特征？它们是一次函数吗？它们应该属于几次函数？
学生完成并交流展示．
◆活动3　知识归纳
我们把形如y＝__ax2＋bx＋c__(其中a，b，c是常数，且a≠0)的函数叫做二次函数．其中x是自变量，a为__二次项系数__，b为__一次项系数__，c为__常数项__．
强调以下几个问题：(1)关于自变量x的二次式必须是二次整式，即可以是二次单项式、二次二项式和二次三项式；(2)二次项的系数a≠0是定义中不可缺少的条件．若a＝0，b≠0，则它是一次函数．
◆活动4　例题与练习
例1　判断函数y＝(x－2)(3－x)是否为二次函数？若是，写出它的二次项系数、一次项系数和常数项；若不是，请说明理由．
解：y＝(x－2)(3－x)＝－x2＋5x－6，它是二次函数，它的二次项系数为－1，一次项系数为5，常数项为－6.
例2　已知函数y＝(m2－9)x2＋(m－3)x＋5(m是常数)，当m为何值时：(1)函数是一次函数？(2)函数是二次函数？
解：(1)当m＝－3时，函数y＝(m2－9)x2＋(m－3)x＋5是一次函数；
(2)当m≠±3时，函数y＝(m2－9)x2＋(m－3)x＋5是二次函数．
例3　某商店经营一种小商品，进价为2.5元，据市场调查，销售单价是13.5元时，平均每天销售量是500件，而销售单价每降低1元，平均每天就可以多售出100件．假定每件商品降价x元，商店每天销售这种小商品的利润是y元，请写出y与x之间的函数关系式，并注明x的取值范围．
解：降低x元后，所销售的件数是(500＋100x)件，则y＝(13.5－2.5－x)(500＋100x)，即y＝－100x2＋600x＋5 500(0＜x≤11).
练习
1．教材P29　练习第1，2题．
2．下列说法中，不正确的是(　D　)
A．二次函数中，自变量的取值范围一般是全体实数
B．在圆的面积公式S＝πr2中，S是r的二次函数
C．y＝(x＋1)(2x－1)是二次函数
D．在函数y＝2－x2中，一次项系数为2
3．已知二次函数y＝1－2x－x2，其中二次项系数a＝__－1__，一次项系数b＝__－2__，常数项c＝__1__．
4．已知两个变量x，y之间的关系为y＝(m－2)xm2－2＋x－1，若x，y之间是二次函数关系，求m的值．
解：根据题意，得m2－2＝2且m－2≠0，解得m＝－2，即m的值为－2.
◆活动5　课堂小结
1．请叙述二次函数的定义及一般形式．
2．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)：①解析式为整式；②自变量的最高次数为2；③二次项的系数不为0.
3．自变量x的取值范围为全体实数．
1．作业布置
(1)教材P41　习题22.1第1，2题；
(2)对应课时练习．
2．教学反思

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